拉压杆件有限元最佳应力点问题

　　张效松

　　(石家庄铁道学院基础部，石家庄050043)

　　应力计算是静力学有限元分析中的一项重要工作，很多文献都说明:直接计算结点的应力精度很差，而在元素内部存在最佳应力点，在等参元分析中一般认为是Gauss积分点处应力比较精确，文献【l]利用平面矩形四节点等参元对简支梁应力分析表明四节点等参元最佳应力点为单元的形心.本文以拉压杆单元为例，对影响最佳应力点的几个问题进行了讨论，因为应变和应力在计算时精度是同阶的，因而以应变为分析量.

　　1拉压杆有限元分析

　　对于拉压杆单元的刚度矩阵，可以采用等参元的思路计算，对于线性和二次单元可以分别利用一个和两个Gauss积分点精确计算其刚度矩阵，对于三次单元假设结点在母单元上等间距分布，可利用三个Gauss积分点精确确定其刚度矩阵.下面分别利用如上所述三类单元对拉压杆在各种载荷作用下的位移和应变进行计算.

　　(a)均布载荷作用下杆件有限元分析

　　采用线性和二次有限元所得应变分别为

　　采用三次元平衡方程、结点位移和应变分别为

　　2有限元应力(应变)结果精度分析

　　对于前面所给三个例子的精确解答分别为

　　由精确解和有限元结果的比较可以看出，对于以上三种载荷情况作用，构件的应变存在如下结果:

　　由如上分析可以看出，有限元最佳应力点与问题精确解的阶次有关，对于一维杆单元，若采用N次元(N=l，2，3)模拟精确位移按N+1次多项式变化的问题时，在精确计算N次元刚度矩阵所需的最少Gaus:积分点处有限元分析所得应力同精确结果一致.

　　参考文献

　　1.黄文彬，李明瑞.平面四结点等参元高斯点应力的适用性·力学与实践，1996，18(5):65、69