微悬臂梁谐振技术检测溶液粘度的研究

    原子力显微镜(AFM)^[1]的发明为我们提供了一种新型的传感器件——微悬臂梁。它能用于如温度、热量、质量、压力、生物和化学作用等多种物理和化学量的测量。微悬臂梁将被测量转化为自身的机械形变或谐振频率的变化^[2]。微悬臂梁具有灵敏度高,如蒸镀了双层金属膜的微悬臂梁作为温度传感器,灵敏度可达10^-5K^{[ 3]};以微悬臂梁为换能元件的生物传感器灵敏度可达皮克量级^[4]。而且微能批量加工,从而降低成本。这些优点使得微悬臂梁传感技术得以迅速发展。本文提出了一种测量溶液粘度的微悬臂梁谐振频率技术。微悬臂梁的谐振频率主要取决于微悬臂梁的机械几何特性和微悬臂梁所在介质的物理特性。在空气或真空中,微悬臂梁的谐振频率与其有效质量的1/2次幂成反比^[5]。在液体环境中,由于液体的阻力作用,微悬臂梁所受阻尼增加,因此振幅减小,谐振频率降低。在工业和科研中,落球法是最常用的粘度测量方法之一,精度高,测量误差小(不超过2%)^[6]。我们利用AFM微悬臂梁分别测量了不同质量分数的甘油溶液和蔗糖溶液的粘度,并与落球法的测量结果作了比较,实验证明利用谐振频率技术测量溶液粘度能够达到较高的精度。

    1　理论分析与推导

    在无阻尼环境中(真空或空气中),AFM微悬臂梁的振动可看作2阶谐波振荡器^[7,8],振动方程为

    求得微悬臂梁在空气中的谐振频率为

其中　k为微悬臂梁的弹性常数;m*是微悬臂梁的有效质量。对于一个均匀的矩形微悬臂梁,m*=0.24M^[5],M是微悬臂梁的质量。

    当微悬臂梁浸入液体中时,振动方程为

式中　耗散常数γ是系统能量降低到原有值的1/e所需时间的倒数,γ=b/m*,b是与溶液密度、粘度有关的阻尼系数;F_0e^iωt为微悬臂梁的激励力。

    为了研究液体中的阻尼影响,我们把微悬臂梁看作一个半径为R的振动球,如图1所示。振动球在液体中受到的阻力为^[5]

式中　η、ρ、ω分别指溶液的粘度、密度和振动球在溶液中的谐振频率;第一项的系数m₁=2πρR³/3叫感应质量,它增加了液体中微悬臂梁的有效质量。因此,液体中微悬臂梁的有效质量为=m^*+m1。综合式(3)、(4),振动方程变为

式中B=n₁3πR²(2ηρω)12/m。由于微悬臂梁并非真正的球体,因此式中增加了修正系数n1。对于给定的微悬臂梁,在任何液体中n₁和R都应是常数,且能通过实验确定它们的值。令C=n₁3πR₂/m,则式(7)变为