非标准渐开线基圆的反求

　　本文提出了一种从渐开线的几何成形原理的角度,通过构造牛顿迭代格式而反求渐开线基圆半径的方法。

　　一、渐开线轮廓的精密测量和反求

　　1.渐开线轮廓的精密测量

　　本文采用Brown &sharpe Mistral三坐标测量机完成测量。该三坐标测量机属于接触式测量设备,测量精度高(约为±0.5μm),并且可以方便地以多种格式输出数据。

　　取定一垂直于齿轮轴线的平面为测量平面,始终保持测量机的测头处于该平面内,将齿轮的轴心定位为测量的坐标原点,使测头沿齿廓逆时针进行测量。

　　由于齿轮齿廓的对称性可只测其齿廓线的1/2,并且为了测量的准确,取靠近齿形中部的一段而避免靠近齿顶或齿根进行测量。将所有的测点限制在第一象限内,设共测得n+1个点(xi,yi)(i=0,1,2,3…n),如图1。

　　以后的计算过程中用的是点的极坐标值,因此还要将所测点i的直角坐标值(xi,yi)转化相应的极坐标值(ri,i),使极坐标系的原点和直角坐标系的原点重合,极轴和直线OO重合。测量点的极坐标如图2。

　　2.基圆半径rb的反求

　　图2中,由i点作基圆的切线,C点为切点,B为渐线形成时的起始点。渐开线的极坐标参数方程为:

　　式中,rb为渐开线的基圆半径,ri为i点处的极半径,αi为i点处压力角,θi为i点处压力角αi渐开线函数[1],工程中常以invαi表示。

　　由渐开线的极坐标参数方程式(1)可导出为:

　　式中,θ0为测量点O点处的invαi即invα0,r0为测量点O点处的极半径。

　　由图2可知,i点的极角i为i=θi-θ0,则由式(2)和式(3)可导出:

　　式中,rbi,k表示迭代k次后所得i点处的基圆半径,F′(rbi,k)是F(rbi,k)在rbi,k处的导数:

　　该迭代在rb附近是二次收敛的,迭代终止准则为:

　　ε是相对误差容限,这里取ε=10^-8。

　　这样,可以通过每个点处的坐标值(ri,i)求得对应的rbi共n个(rb1,rb2…rbn),根据最小二乘法的原理,取这n个rbi的平均值,可得所求的基圆半径rb:

　　求解基圆半径rb的计算流程如图3。

　　二、参数的验证

　　在原型齿轮的基圆半径rb未知的情况下,验证思想是这样的:基圆半径确定后,则对应渐开线是确定的。以点(r0,0)(也可选用其他的点)来确定渐开线的位置,以此位置来验证其他点(ri,i)(i=1,2,3…n)相对于该渐开线的偏差,这里验证ri,i。这种验证方法属于比较粗略,但通过它可以反映出齿轮的原始设计参数rb(记作rb1),和反求出的rb(记作rb2)之间的误差Δb,误差之间具有如下关系minΔri<Δb b