用最小二乘迭代法对干涉条纹图进行插值

　　1　引　　言

　　用基2型FFT算法对干涉条纹图进行插值时,要求采样序列长度满足P=21,而常见的干涉图区域是圆形的。对于X轴方向的某一行来说,序列长度是圆孔径对应该行的弦长s相应的,因而不可能使每行的采样序列长度Q均满足Q=21,为此,提出区域外插的思想[1]。区域外插的方法有很多,最简单的方法是将扩充的数据取为零。采用此方法就是在圆域干涉图之外,方型区域之内以零值代替条纹作傅立叶变换,由于条纹在孔径边界突然消失,引起傅立叶谱的扩散,在恢复得波面的孔径边缘产生很大的误差,形成边界效应。J.Bone等人首次讨论了边界效应问题[1],提出了在边界对称反转外延的方法,以改善干涉图在边界的幅度突变。而后,不少学者又进行了许多探讨,如提出以边缘极值点为对称点反转外延的方法[2],但由于这种方法原理上的不完善和误差的积累,不可避免产生条纹在边界处的错位现象。

　　C.Roddier等人也提出了一种条纹外插方法,但此方法是基于2-DFFT变换[3],并需多次迭代,在一般没有专门硬件的微机上实现太慢。也有人提出利用孔径边缘余弦函数的极值点为相对坐标原点进行外插的方法[4],此方法能显著减少边界错位影响,但精度不高。本文提出一种新的插值方法,该方法是对原条纹图进行最小二乘迭代,以求出条纹图的真值表达式,然后根据表达式求出方形域的干涉条纹图,该方法不受条纹形状、干涉图大小、载波频率等条件的限制,对干涉图进行插值后,条纹比较光滑,边界衔接较好,可保证边界幅度与相位的连续性且不损失干涉仪的孔径。

　　2　方法原理

　　干涉区域内的灰度表达式可表示为:

       这样,该方程内有五个未知数:A,B,Tx,Ty,C其中,A为背景光,B为对比度,Tx为X方向的周期,Ty为Y方向的周期,Z代表干涉图灰度。把Z在某值A0,B0,Tx0,Ty0,C0处进行泰勒级数展开,得到:

　　以A0,B0,Tx0,Ty0,C0为初值,采用最小二乘法,求解其真值的偏差值:δA,δB,δTx0,δTy0,δC。求解后,以

　　为初值,再使用最小二乘法求解,直到 δA , δB ,δTx , δTy , δC 都小于选定的极小值ε。

　　3　实测结果图

　　以上海光机所生产的PG-15型平面度干涉仪为硬件基础进行改造,研制成数字平面度干涉仪。图2为在其所采集到的干涉图,并去掉边界。图3为外插结果。算法程序流程图如图1:

　　4　结　　论

　　外插是用FFT对干涉图进行处理中很重要的一步,外插结果的好坏对处理结果影响很大,本文从整个图形出发,用最小二乘法进行迭代,求出整个面形的数学模型,从而保证了外插效果。