基于Zernike矩的网壳结构的振型表征及损伤识别

    对于一般建筑结构，不同阶数的频率及振型的区分度较明显，而网壳结构由于其空间几何特性及动力特性复杂，是一种自振频率密集型结构[1]。因此在网壳的抗震设计中，若采用振型分解反应谱法，所取的振型不宜过少，《网壳结构技术规程》明确规定了对网壳结构进行地震效应计算时，按振型分解反应谱法分析宜取前 20 阶振型[2]。若结构具有几何对称性，网壳中还可能存在大量的重频模态[3]，这使得网壳结构的模态识别及振型匹配变得复杂。在结构的模态识别及模型修正中，模态保证准则(MAC)提供了一种简单地比较模态振型的工具，它是对振型的一种处理方式，可以看成振型之间的夹角余弦，其值通常为 0 到 1[4]。MAC 较好地反应了模态振型数据之间的相关程度，但缺点是过分压缩了结构振型特征的信息，尤其是振型的形状特性信息。除此之外，若结构中存在重频(假设重数为 n)，振型将不再是确定的特征向量，而是一个 n维的子空间，该空间上的任意向量都可作为振型[4]，因此，子空间正交基的不唯一性使得单纯比较单个向量相关性的 MAC 失去了意义，需要研究更全面有效的方法。

    1 Zernike 矩(ZM)描述方法

    Zernike 矩[5]是基于 Zernike 多项式的正交化函数，它是由一组单位圆内的完备正交集组成。Zernike 矩描述方法(ZMD)是图像处理法[6―7]之一，其核心思想是把一个图像用 Zernike 矩特征向量进行描述，也就是将图像的数字信息变换到 Zernike矩空间中。其拥有较多优点，比如旋转不变性、表达和计算的简易性、图像重建的灵活性以及对噪声的鲁棒性，这给模式识别领域提供了一个强有力的参数，因此在图像处理及识别、眼科学等诸多方面发挥了重要作用。

    1.1 Zernike 矩的定义

    Zernike 首先提出了一组复数多项式 ( , )nmV x y ，它们在单位圆2 2x ? y≤ 1内是两两正交的，其元素结构表达形式如下[8]：

    其中： n 0,1, 2,?，是 Zernike 多项式的阶数；m 0, 1,2,，是 Zernike 多项式的重数，且n  m 为偶数，满足  m n； ( )nmR ? 为径向多项式，定义如下：

    图像的 Zernike 矩是指该图像在上述某阶多项式上的投影，n 阶 Zernike 矩的表达式如下：

    其中：I(x,y)为要转化的某连续图像函数；*表示复共轭。对于一个数字图像，I(x,y)为离散函数，Zernike矩的计算是通过求和代替积分来实现的，表达式为：

    实际计算一幅图象的 Zernike 矩时，应该将图象的重心移到坐标原点，将图象所有象素点映射到单位圆内。Zernike 矩可以任意构造高价矩，而高阶矩包含更多的图象信息。