作大范围平动柔性梁的耦合动力学建模及分析
随着航天技术的发展,柔性构件在宇航技术中得到了广泛应用。自1987年Kane提出动力刚化[1]现象以来,刚-柔耦合结构建模引起了广大学 者的关注。先后采用了几种不同的方法如非线性有限元法,几何变形法,变形耦合法等对其进行研究,这些方法对大范围平动与弹性结构变形运动之间的耦合处理得 过于简单,使得在实际应用中出现错误的结果[3]。近几年,对作轴向平动的柔性索和柔性梁的非线性行为已经引起各国学者们的关注[5],他们采用 Euler方法和Euler-Lagrange混合描述方法来描述作平动的柔性索和柔性梁的变形运动。
本文针对作大范围运动平面梁的结构特点,考虑梁弯曲产生的几何非线性效应对纵向、横向弹性变形的影响,在纵向、横向变形中增加了新的二次耦合 项,并用Lagrange方程建立了大范围平动柔性梁刚-柔耦合动力学方程。通过仿真算例,对比研究了一次近似模型和精确模型在不同速度下柔性梁的横向位 移响应的差异。文中采用文献[2]中的初始构形、中间构形和现时构形来描述作大范围平动柔性梁的变形运动。
1 作大范围平动柔性梁运动学描述
柔性梁沿x轴作大范围平动,如图1所示。初始构形80(梁未变形状态)、中间构形81(梁在t时刻的状态)和现时构形82(梁在t+dt时刻的 状态)。80上的P点和82上的M点对应为变形80上的Pc和Mc点。假定P点的速度矢量v,记x位置t时刻的变形矢量为u(x, t),x+dx位置t+dt时刻的变形矢量u(x+dx, t+dt), i表示单位矢量。假设梁以常速度c沿x轴运动,则有dx=cdt。由图1的矢量几何关系有
将式(1)化简整理可得P点的速度
2 作大范围平动柔性梁运动学方程的建立
根据弹性梁的变形理论,梁上任意一点的变形位移u与其对应中线点的变形量(w1,w2)的关系,精确耦合变形模型考虑完全几何非线性变形后,非中线上一点的变形位移为[4]
由模态假设法,可选取满足静边界条件的简支梁形式的模态型函数来离散位移场,假设其一阶变形位移模式为[6]
式中:<(x)=sinPxl为梁的振动模态函数; 分别为纵向和横向振动模态坐标。将式(4)代入式(3)得到
将式(5)代入式(2)得P点的速度为
将式(6)代入系统的动能表达式,积分后得到系统的动能
式中:Q为梁的密度;A为梁的横截面积; l为梁的长度。对于欧拉-贝努利梁,不考虑剪切变形,且有Rxx=EExx,其变形能为
式中:Dx,Exx分别为x方向的正应力和正应变。根据应变与位移几何非线性关系,
将式(4)、式(9)代入式(8)积分得梁的变形能为
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