轴类零件形位误差的数据处理

　　引言

　　在对轴类零件形位误差的精密测量实践中,对于其误差进行数据处理的方法有很多种。我们根据测量的精度要求,利用VC的友好界面,并根据构造性的数值分析方法,开发出了具有可操作性强、求解精度高的数据处理程序,成功地完成了对轴类零件圆度、轴线的同轴度测量误差的数据处理工作。

　　1 问题求解的思路

　　1.1 圆度误差的求解

　　圆度是指圆柱面(包括圆锥面)的零件在同一横剖面的实际轮廓不圆的程度,它是回转体表面的一项重要指标,其定义为:包容同一横剖面上实际轮廓对理想圆的变动量。评定圆度误差有多种方法,比如最小区域法,最小二乘圆法等,其中,最小二乘圆法就是当实际轮廓上各点至某一圆的距离的平方和最小时,该圆即为最小二乘圆。实际轮廓至最小二乘圆的最大距离Rmax和最小距离Rmin之差,即为圆度误差,如图1所示。

　　该实验是在万能工具显微镜上,用其附件—光学分度头和光学灵敏杠杆对轴类零件进行相关测量的数据测量方法。在进行圆度误差测量时,首先利用万能工具显微镜的顶针座将工件安装好,在工件最佳轴线上定位,读取轴线的横坐标,然后利用灵敏杠杆测头进行测量。光学分度头按选定等分角度(此实验中我们在同一截面上取36等分),以θ1、θ2、...、θ36一一转动,通过光学灵敏杠杆的双刻线定位,使得三组双刻线的像对称地跨在目镜划分板的米字线的中央竖线上,这样就可以在横向读数显微镜上读取读数,r1、r2、,、r36,然后以r1、r2、,、r36,分别乘以θ1、θ2、...、θ36的正弦和余弦值,得到各个被测点的X和Y坐标(x1,y1),(x2,y2),,(x36,y36)。

　　设该被测截面的方程为

　　在实验和工程计算中,常常需要从一组较多的观察数据(xi,yi)(i=1,2,,n),求出变量x,y之间的某种近似的函数关系,通常只要求求出的函数能基本放映数据的变化规律,也就是寻求一个函数,使它拟合的数据能最佳逼近,在此实验的数据处理中,根据最小二乘法原理,应使得下式∑ei为最小。

　　各式成立,写成矩阵形式,则为

　　另外,式(1)可以简写为

　　式中,M为[xi2 xiyi yi2 xi yi],把经过实验测得的数据代入方程式(3),就可以得到多个方程,组成一个关于所求椭圆5个未知数的五阶方程组,也称为法方程组或正规方程组,把它两边同时乘以MT,可得

　　式中,MTM设为U,为对称矩阵,也就是式(2)的另一种形式,移项可得以下的矩阵形式

　　这就是所求得最小二乘(椭)圆的系数,其中的系数B表示该椭圆的不圆程度。