直线度测量数据的阿克玛插值法平滑处理

　　一、前言

　　在生产实践中测量导轨类零件的直线度误差时,通常采用水平仪或准直仪按节距法进行测量,即把整个被测直线轮廓等分为若干个节距,按节距首尾相接依次进行测量,然后将各点连接起来就作为测得的实际轮廓形状。由于在一段节距内是用一段直线段代替该轮廓,所以,测得结果为一条折线,显然,与被测工件实际轮廓形状不一致,被测件的实际轮廓形状为平滑曲线(研究形状误差时,忽略表面波纹度及粗糙度),可假设其具有一阶以上连续导数,如何将折线还原成光滑曲线已成为继续研究的关键问题。为此,本文提出用阿克玛方法进行插值,将离散点连成光滑曲线。可以很好地解决这一问题。

　　二、方法的提出

　　在生产和科研中,函数有时不能直接写出表达式,而只能给出函数在若干个点的对应值或导数值,或给出函数的一张表,然后构造出一个较简单的函数值或导数值。如何根据有限的点去反推原来的函数形式,是问题的关键。通常采用插值法,如拉格朗日插值法、埃特金逐步插值法、样条插值法等,而在工程上多采用样条插值法。

　　在样条插值法中,确定任何一个小区间上的三次多项式,都要考虑全部数据点对它的影响,这不仅扩大了误差传播的范围,还增加了不少计算工作量。当考虑由一系列数据点所确定的曲线时,往往只要注意所需的一段曲线附近的几个数据点就可以了,因为这几个数据点的位置完全可以描绘出这段曲线的形状。考虑以上情况及对实际曲线的光滑程度进行对比,我们提出用阿克玛方法进行插值,将离散的数据点连成光滑曲线,即:

　　给定n个结点xi(i=0,1,…,n-1)上的函数值yi=f(xi),利用阿克玛方法,计算指定子区间上的三次多项式与指定插值点上的函数值。同传统方法相比较,阿克玛插值法具有较高的精度,较好的光滑性和保凹凸等优良性质。

　　三、数学模型的建立

　　设给定的n个结点为x0

　　若在子区间[xk,xk-1](k=0,1,…,n-2)上的两个端点处有以下四个条件:

　　则在此区间上可以唯一确定一个三次多项式为:

　　并且就用此三次多项式计算该子区间中的插值点t处的函数近似值。利用阿克玛在1969年提出的用五个数据点来估计出中间点导数的几何条件,gk与gk+1可由下式计算:

　　并且在端点处有

　　最后可以得到在任意指定的区间[xk,xk+1](k=0,1,…,n-2)上的三次多项式的系数为:

　　插值点(t∈[xk,xk+1])处的函数近似值为:

　　四、应用举例