基于几何优化的圆度误差评定算法

    0 前言

    圆度误差是指被测圆柱面任一正截面上的实际圆轮廓相对于理想圆的最小变动量，其大小将直接影响到回转体零件的回转精度、配合性质及耐磨性等，因此圆度误差的精确测量与评定对圆度误差产生的原因及零件是否合格都是至关重要的。圆度误差的评定常用最小二乘圆法、最大内切圆法、最小外接圆法和最小区域圆法四种方法。其中，最小二乘法因其理论成熟、算法简便易行等优点，应用最为普遍，但其不满足最小条件的圆度误差评定准则，且圆度误差评定的最小二乘法属非线性问题，在线性化过程中对测量的数据采集提出了一些附加条件，这给实际测量带来了不便[1]。最小区域法是唯一符合国标 GB1183—80 定义的圆度误差评定方法，由于其算法是一个多极值的非线性最优化问题，因此不易直接求解。国内外学者从不同角度对圆度误差的最小区域评定算法进行了大量的研究，提出了很多评定圆度误差的优化算法，比较有代表性的算法有：仿增量算法[2]，遗传算法[3-4]、搜索算法[1,5-6]、逐步二次规划(Sequential quadratic programming)算法[7]、计算几何算法[8-10]及刚体坐标变换算法[11]等；这些成果都有一定的实用价值，但这些算法大都比较复杂，不易被实际应用。

    1 几何优化算法过程及步骤

    1.1 初始值的确定

    设测点的坐标为从参考文献[1-8]及实际测量结果可知，圆度误差的评定圆心一般比较接近被测圆的最小二乘圆心及几何圆心，因而，初始点的选取可采用下列两种方法。

    (1) 等间隔测量完整圆时，初始点可取最小二乘圆心O0 ( x0 , y0 )(式(1))，也可按式(2)选取初始点。

    (2) 非等间隔测量时，依据三点确定一个圆的原理，初始点的坐标可取被测圆的几何圆心O0 ( X0 , Y0)[1]

    式中，( x1  , y1 )、( x2 , y2 )、( x3 , y3 )为大致均匀分布在被测轮廓(完整圆或非完整圆)上的三个点的坐标。

    1.2 布置几何区域

    以初始点有中心设置一正六边形(图 1)，则六边形的顶点坐标为

    式中，e 取最小二乘圆度误差或者按零件的加工精度取估计值。

    1.3 计算各测点与六边形顶点的距离

    分别以(xj , yj )为假定理想圆心，按式(4)计算所有测点的半径，并找出 j = 1,2, ,6时的最大半径jmaxR 、最小半径jminR 及半径极差j?R 。依据几何关系可以知，jmaxR 、jminR 分别为包容际轮廓的外接圆半径、内接圆半径。