基于概率的桁架结构动力分析

　　0 引 言

　　结构动力分析是结构设计中的重要环节。目前,结构动力分析的主流方法已从早期手算阶段极端简化的等效集中参数方法、解析方法发展为现今计算机时代的各种数值方法,可以说已相当丰富与完善。然而。迄今为止所看到的大多数结构动力分析建模基本上仍属于确定性模型,即将结构的全部参数均视为确定性量。显然,此类模型是无法反映出结构中的随机因素对结构动力特性的影响。实际上在某些情况下,结构本身的随机性是必须考虑的,特别是在设计阶段。例如:一类大宗或批量生产的结构其材料物理参数取值的分散性;其构件几何尺寸制造和装配中的偏差;其支撑边界条件的不确定性等等。为此,研究随机结构的动力分析问题具有非常现实的工程背景和重要的理论意义。

　　关于随机参数结构特征值问题的研究,已有一些文献报道,如:文[1-3]曾对具有随机参数的结构进行了动力特性分析,其基本作法均是以小参数来描述结构中的随机因素,利用有限元和矩阵摄动方法求解。文[4]将结构参数的随机性视为在其均值附近的扰动,通过结构固有振动Rayleigh(瑞利)商变分,得到了结构动力特性的扰动公式。文[5]以随机结构分析的扩阶系统方法为基础,建立了一类两阶段迭代的随机系统建模方法。文[6]利用旋转壳分析的广义样条子域法,建立了带有随机参数冷却塔的随机特征值摄动分析公式,并着重讨论了塔基边界支撑随机参数的统计特性对特征值的影响。

　　本文以桁架结构为对象,研究结构的物理参数和几何尺寸分别或同时为随机变量时结构动力特性的概率分析与求解的方法。

　　1 基于概率的结构动力特性分析

　　1.1 物理参数为随机变量

　　考虑到结构材料在成型过程中不可避免地受到多种随机因素的影响,使得同一种材料其物理参数:弹性模量E和质量密度Q两者的取值都呈现出一定的分散性。为此,我们有理由将参数E和Q作为随机变量。显然,由于参数E和Q的随机性,从而将导致结构的刚度矩阵[K]、质量矩阵[M]以及由[K]和[M]确定的结构各阶特征值的随机性。设所分析的桁架结构共有ne个单元,利用有限单元法,任意单元e在局部坐标系下的刚度矩阵[K(e)]为:

　　其中: le,Ae分别为e单元的杆长和杆截面积;[K(e)]#为[K(e)]中的确定量部分。此式表明:结构单元刚度矩阵可分解为随机变量E和常量矩阵[K(e)]^#两部分之积,其随机性仅取决于弹性模量E的随机性,而在建立[K(e)]^#时,仍同以往建立单元刚度矩阵一样,只需将其中的E用1来代替即可。

　　进而在总体坐标系下单元e和结构的总刚度矩阵[K^(e)],[K]分别为: