周边固支厚圆板受中心集中力弯曲的BESSEL级数解法

　　1 基本微分方程和边界条件

　　设圆板的半径为a,厚度为h,周边固支,在中心受集中力P的作用(图1)。

　　由Reissner模型建立的极坐标中厚板弯曲的基本微分方程在轴对称情况下的形式为:

　　式中,无量纲变量为板的挠度,ω(ρ)为单位长度上的径向剪力,q为横向载荷,

　　边界条件为:

　　1）.固支边界的挠度条件

　　2）.固支边界的转角条件

　　3）.圆板中心处的力的平衡条件

　　2 挠度w,剪力Q的级数形式及其导数:

　　1）.设

  （6）

　　其中λn为Bessel函数J0(x)=0的正根,Wn(n=1,2,,)为待定系数。

　　所设挠度w(ρ)满足边界条件(3)式。

　　由(6)式可得:

　　2）.设

（8）

　　其中qn(n=1,2,,,),K,K1为待定系数。

　　由边界条件(5)式,可得

　　3 圆厚板所受载荷

　　板中心的集中力P已在边界条件(5)中考虑。

　　4 在给定边界条件下解基本微分方程组:

　　1）.把(7),(9),(11)和(12)式代入(1)式:

　　代入上式,比较J1(λnρ)的系数,得:

　　2）.把(10),(12)式代入(2)式

　　3）.确定待定常数K:

　　把(6)式代入边界条件(4)式:

　　把(17)式代回(6)式,并注意到下边二个无穷级数的和:

　　可得:

　　把(16),(18)式代回(9)式,并注意下列无穷级数的和

　　(19),(20)式即为本弯曲问题的解。

　　5 与经典薄板理论相应弯曲问题结果的比较

　　周边固支中心受集中力作用的圆薄板的解为[2]

　　把(19),(20)和(12)式分别代入(21)和(22)式,可得:

　　相应经典薄板理论的结果为[2]:

　　显然,(23)(24)式中的前一项即为经典薄板理论的相应结果,而后一项为Reissner厚板理论考虑剪切变形影响而出现的修正项。

　　在固支边界即ρ=1处,弯矩

　　经典薄板理论的相应结果为

　　二者的误差的变化如图(2)所示,当,则R不超过5%。

　　参考文献

　　[1]严宗达.结构力学中的富里叶级数解法[M].天津:天津大学出版社,1989.

　　[2]杨耀乾.平板理论[M].北京:中国铁道出版社,1980.

　　[3]黄克智等.板壳理论[M].北京:清华大学出版社,1987.

　　[4]罗恩.关于弹性地基上厚板弯曲的某些问题[J].土木工程学报,1981;14(4):57~70.