张拉膜结构的找形分析

　　1　动力松驰法原理及运动阻尼的概念

　　20世纪60年代A.S.Day首次提出了动力松驰法的概念,后来M.R.Barnes和D.S.Wakefield等人将其应用于索网和空间膜结构的分析中。

　　动力松驰法就是把空间初始试形状离散化为结点和结点之间的连接单元(本文称之为链杆),并使结点产生振动,然后逐时(时间上)、逐步(空间上)地跟踪体系的振动过程,直到由于阻尼的影响,各个结点最终达到静力平衡状态。

　　动力松驰法在分析动力问题时,按结构的实际质量、刚度和阻尼进行计算,在静力分析时,通过虚设的质量、刚度和阻尼把静力问题转化为动力问题。

　　在振动过程中任一时刻t,结构上任一结点i在坐标Xj(j=1,2,3)方向上的动力平衡方程为

式中,Rtij为t时刻作用于结点i在Xj方向上的残余力或不平衡力;Mij为集中于结点i在Xj方向振动时的虚拟质量;Cij为结点i在Xj方向上的阻尼系数,Vtij为t时刻结点i在Xj方向上的速度。

　　式(1)写成有限差分形式

  (2)

　　整理(2)式得到

  (3)

　　那么t+Δt时刻结点i的位移可由下式计算

　　假定结构体系在t=0时刻从静止状态开始振动,即V⁰_ij=0,由直线差分公式可得到下式

　　(5)式在t=0时刻代替(3)式。

　　当结构体系上所有结点在每个方向上的位移都按以上公式确定后,结构在t+$t时刻的几何形状就确定了,从而也就确定了结构上各结点在t+$t时刻新的不平衡力。这个典型过程一直重复到不平衡力满足收敛条件为止。

　　20世纪70年代中期,P.A.Cundall提出“运动阻尼”的概念,用于岩石力学问题,在处理局部扰动时。

　　“运动阻尼”具有稳定性好、收敛速度快等优点。它是把结构看成是无阻尼的自由振动。在振动过程中,当探测到结构体系的总动能达到局部峰值时,令各结点的速度分量为零,结构从新的几何位形重新开始自由振动,直到下一个动能峰值出现。振动过程也是能量耗散的过程,直到达到静力平衡状态。如果把它引入到动力松驰法中,将会进一步提高计算速度,改善其敛散性。

　　若采用“运动阻尼”,则式(1)中Cij取为零,式(3)可简写为

　　2　膜曲面结构体系结点不平衡力计算

　　在膜结构找形分析时,先把初始试形状离散化为三角形单元,再把三角形单元简化为只有结点和链杆的三角形单元,这样原来六自由度常应变单元就变成了只能沿三个边长(也称之为链杆)方向伸缩的三自由度单元。

　　对于图1所示典型单元,假定单元变形属于小应变问题,由莫尔圆可得到下面关系式