扩展有限元的ABAQUS用户子程序实现

　　工程力学问题的分析中有限元法(FEM)和其他数值方法相比,具有一些无法比拟的优点,因此,在线弹性断裂力学问题中被广泛采用.虽然如此,有限元法仍然存在一些缺陷.常规有限元法(CFEM)在处理类似裂纹这样的强不连续问题时,须将裂纹面设置为单元的边界,裂尖设为单元的节点;由于裂尖处的应力奇异性,还必须对裂尖附近的网格进行加密,导致计算量巨大.为了解决这些问题,一些新方法不断涌现.1994年Belytschko等[1]提出了无网格元法,很好地解决了裂纹尖端需要高密度划分单元的问题.然而,无网格元法在模拟结构的边界时遇到了巨大困难,并且由于使用了高阶积分,求解量仍然十分大,往往几十倍于有限元法.因此,大大降低了无网格元在工程中的使用价值.

　　1999年Belytschko、Mose等[2-3]首先提出了扩展有限元法(XFEM)的思想.扩展有限元的特点:¹划分单元时不考虑任何结构内部的物理或几何细节(比如双材料和裂纹、空洞等),只需按照一般方法生成单元网格;º采用水平集法确定裂纹的实际位置,跟踪裂纹的扩展;»借助对所研究问题的现有知识,改进影响域内单元的形函数,以反映裂纹的力学特性.

　　在解决裂纹问题时,和常规有限元法相比,XFEM具有明显的优势.XFEM所使用的网格与结构内部的几何界面或物理界面无关,从而克服了在裂纹尖端等高应力和变形集中区进行高密度网格划分所产生的困难,这也使得在模拟裂纹生长时无需对网格进行重新剖分;和无网格元法相比,XFEM由于保留了CFEM的所有优点,其单元刚度矩阵具有和CFEM一样的对称、带状和稀疏性,保证了其计算量没有无网格元法那么巨大.因此,XFEM得到了快速发展和应用.随后,众多学者将这种方法应用到裂纹扩展研究中[2-11].

　　本文利用ABAQUS软件所提供的用户定义子程序模块,用FORTRAN语言编写了用户子程序UEL,在ABAQUS平台上实现了扩展有限元法.对2个经典算例进行计算,并与解析解以及CFEM的计算结果进行了比对.结果表明,XFEM法在低密度网格划分的前提下,达到了较高的准确度和精确性.

　　1 扩展有限元法

　　1.1 单元逼近函数

　　图1所示为含有一条裂纹的有限元网格,XFEM对单元的改进体现在位移逼近函数上.受裂纹影响单元的改进函数要有所改变[5].具体来说,裂纹面所影响单元的位移逼近函数须包含不连续的Heaviside函数(阶跃函数),以体现位移的强不连续性;而对于裂纹尖端的单元,要较为准确地模拟其应力场,裂尖改进函数必须能体现出裂尖位移场径向和环向的性态.以上位移逼近函数都是基于单位分解(PUM)概念的.Babuska等[4]证明了PUM的收敛性,因此,基于单位分解的扩展有限元收敛性将很容易得到保证.单元位移的逼近函数可以表示成如下形式: