弹性地基上扁球壳自由振动的级数解

　　扁球壳作为一种基本结构元件,被广泛应用于实际工程中,如航天器和深水工程的压力容器等.从几何和力学角度来讲,壳体结构比梁和板结构更为复杂,但受力性能很好.扁球壳的基本方程在一般的壳体理论书籍中均已列出[1-2].对圆底扁球壳使用极坐标进行求解较为方便[3].本文在文献[3]所给出的控制方程的基础上,将挠度展为Fourier-Bessel级数形式对其进行求解,给出了前三阶的固有频率及相应的振型变化曲线,并与弹性地基上的扁球壳的振动问题精确解进行了对比.

　　1　基本关系及基本方程

　　由于圆底扁球壳的中面非常扁平,因此中面内点的坐标可以用它在底面上投影点在底面内的坐标(极坐标r,θ)表示.

　　对图1所示弹性地基上扁球壳的自由振动方程[3]如下:

　　式中:m*=ρ*h,ρ*为板的密度;D =Eh312(1-μ2),

　　为壳体的弯曲刚度; 2为拉普拉斯算子, 2=(2r2+1rr+1r22θ2),k为地基基床系数,是地基土在外力作用下产生单位变位时所需的应力,也称弹性抗力系数或地基反力系数.

　　对于振动问题,各物理量不仅是r,θ的函数,还是时间t的函数.现设

　　其中ω为壳体的自振频率.

　　现将式(2)代入式(1)中,则壳体的自由振动方程可以化为

　　2　基本方程的求解

　　本文采用Fourier-Bessel级数解法对弹性地基上周边夹支扁球壳的自由振动问题进行了分析,壳体的挠度幅值-w(r,θ)被展为带有补充项的Fourier-Bessel级数[4]形式,如下:

　　式中:ρ=ra,ηn=1/2　n =01　　n≠0,λ(n)m是Jn(x) =0的第m个正根,Amn、Bn为待定系数,n为周向波数.对于周边夹支扁球壳的边界条件为

　　将式(4)代入式(3),可得

　　若上式在定义域内恒成立,只能令余弦项系数为零.同时将ρn和ρn+2展为Bessel级数,得

　　令(ω2m*-EhR2-k)a4/D = S4,则式(8)可化为

　　对于本文的级数解法,边界条件式(5)自动满足.现将式(4)代入式(6),可得

　　式(10)经移项整理得

　　将式(11)代入式(13),整理得

　　由于Bn≠0,则必有

　　根据文献[4],式(13)可化为

　　式(14)即为频率方程.

　　将式(9)代入式(4),并将其中的S以Snl代替,得到与Snl对应的振型

　　3　数值算例

　　本文考虑周边夹支封顶扁球壳的自由振动.为了便于进行比较,壳体的几何尺寸和物理参数分别取[5]h=0.6m,R=20m,E=20Gpa,μ=0.167,ρ*=2 300kg/m3,a =10m,k =5×107N/m3.

　　根据式(14)、式(15)及上述物理参数,本文计算出前三个固有频率及两个振型变化曲线.