线性分布载荷作用下功能梯度简支梁弯曲解析解

    功能梯度材料 ( functionally graded materials，FGM) 的概念是 1984 年，由日本材料学者平井敏雄等针对航天技术中出现的高落差温度( ＞ 1 000℃)现象提出的［1］． 其材料属性在剖面上连续变化，基本消除了宏观界面，FGM 有效地实现了材料内部功能的渐变，达到了缓和热应力、避免或降低应力集中的目的［2］，同时，这种材料具有很好的可设计性，设计人员可以通过优化方法有目的地改变材料组成，以获得所期望的性能: 减小最大挠度、增大基频或减小最大主应力［3］． FGM 良好的物理性能和独特的设计思想引起了国际学术界和工程界的广泛关注，其在装甲防护、热力机械及人体医学等工程分支和系统内都得到了广泛的应用．

    由于 FGM 是一种非均质材料，所以其材料基本物理性能的表述与均质材料不同，其结构的力学分析方法也不同于均质结构． 用于 FGM 结构的主要理论分析方法［4］有: 层合模型法、简化模型法与精确解法( 解析法) ，其中，解析法是严格求解问题的控制方程和边界条件，求出 FGM 结构的应力与应变分布的完全解析解． 目前，对于功能梯度梁的求解能得到解析解的仅是极少数的情况． 基于应力函数的半逆解法，于涛与仲政等［4-5］分别得出了均布载荷、端部集中力与力矩作用下的功能梯度悬臂梁的弯曲问题的解析解． Sankar 等［6］假设梁的弹性模量在厚度上呈指数变化，得到了横向载荷作用下功能梯度梁的弹性解． 而同样采用应力函数法，黄德进等［7］则将任意载荷利用正弦级数展开，得到了任意载荷作用下各向异性功能梯度梁的解析解和半解析解．

    本文基于应力函数法，研究了线性分布载荷作用下材料属性在厚度方向上任意变化的功能梯度简支梁的弯曲问题，通过推导得到了适合线性载荷作用下功能梯度简支梁的更简洁的应力函数  的表达形式，并给出了满足边界条件的各向应力应变和位移的显式解析表达式．

    1 相容方程与平衡方程

    1． 1 载荷分布与材料属性假设

    如图 1 所示，考虑一个矩形截面的简支梁，其深度为 h，长度为 l，体力忽略不计，在上表面承受线性分布载荷:

    由于泊松比对功能梯度结构力学响应的影响较小［3］，假设其在整个结构上保持恒定于 μ． 材料的弹性模量只在厚度方向上发生变化，其分布采用如下函数进行表述:

式中: E₁为上表层材料的弹性模量，E( z) 为坐标 z的任意函数．

    1． 2 基本微分方程

    各应力与应变分量应满足以下平衡方程和相容方程［8］．

    平衡微分方程: