复合球坐标系中便携式坐标测量机的数学模型

　　0　引　　言

　　传统的三坐标测量机作为一种高效的精密测量仪器是先进制造技术的重要组成部分。它测量范围大、精度高,易与柔性制造系统和计算机集成制造系统相连接,因而它在机械制造、电子、汽车和航空航天等工业中有极广泛的应用[1,2]。但是,传统的三坐标测量机也同时存在如:结构复杂,测量范围受直线导轨大小的限制,造价昂贵等缺点。

　　多个关节臂的柔性三坐标测量机将6个转动臂和1个测头通过6个旋转关节串联连接,一端固定在基座上,测头可在空间自由运动,构成了一个半球形测量空间[3,4]。与传统的三坐标测量机相比关节臂式坐标测量机具有机械结构简单、体积小、重量轻、测量范围大、灵活方便、造价低、可以将测量机移到现场进行测量等优点,但是测量机末端测头中心坐标与各关节转角的关系比较复杂,因此建立其数学模型就显得尤为重要。已有的数学模型中,大多是运用DH建模,模型十分复杂。可以通过在关节臂测量机各个关节处建立复合球坐标系,在复合球坐标系下建立更为简洁的数学模型。

　　1　空间坐标系的转换关系

　　为了研究各个关节臂之间的位置及姿态关系,可在每个关节臂上固定一个坐标系,然后描述这些坐标系之间相互关系。将第i个坐标系中的点的坐标转换到第i21个坐标系的齐次转换矩阵通式可表示为式(1)

　　式中:P=(px　py　pz)T表示第i个坐标系的原点在第i-1个坐标系中的坐标。N=(nx　ny　nz)T表示第i个坐标系的X轴相对于第i-1个坐标系的三个坐标轴的方向余弦;O=(ox　oy　oz)T表示第i个坐标系的Y轴相对于第i-1个坐标系的三个坐标轴的方向余弦;A=(ax　ay　az)T表示第i个坐标系的Z轴相对于第i-1个坐标系的三个坐标轴的方向余弦[5]。

　　2　复合球坐标系的定义

　　在测量机的6个旋转关节处建立6个直角坐标系,以其回转轴为Z轴。(Z1,Z2),(Z3,Z4),(Z5,Z6)分别组成3个复合的球坐标系统,并且在测头上建立一个测头坐标系Z7,测头的中心为O7,在关节6的零位处,Z7垂直于Z6,X7与X6同向,Y7由右手规则确定。如图1所示,由于O2i-1与O2i不重合,Z2i-1与Z2i不垂直,所以称之为复合球坐标系。

　　2.1　关节轴的确定

　　空间中一个点绕一条固定的直线旋转一周的轨迹是一个圆,这个圆所在平面垂直于这条固定直线。所以,这个圆所在平面的法矢量就是这条固定直线的方向矢量,并且,这条直线过圆的圆心[6]。利用这个原理,可以确定出关节臂式柔性三坐标测量系统各个关节处的旋转轴线。

　　2.2　关节零位的确定

　　关节1,关节6的零位可以自由确定。在空间任意位置,固定关节2i,Z2i+1绕Z2i转动,Z2i+1与Z2i的公垂线与X2i的负方向有一个夹角α,定义在α=0的位置为关节2i的零位(i=1,2)。在空间任意位置,固定关节2i-1,Z2i绕Z2i-1转动,Z2i与Z2i-1的公垂线与X2i-2的正方向在O2i-1X2i-1Y2i-1平面内的投影有一个夹角ε,定义在ε=0的位置为关节2i-1的零位(i=2,3)。