一种高次光学非球面度的计算方法

    引 言

    在光学系统中采用非球面元件，有利于校正像差、改善像质、简化仪器结构等。因此光学非球面的应用非常普遍。最大非球面度是光学非球面加工的一个重要数据[1]，也是检测中的重要指标，在一定程度上反映了检测的水平和难度。

    目前，光学非球面度一般分二次曲面和高次非球面分别进行计算，而且非球面度的定义也不统一。本文中分析了几种常用光学非球面的非球面度计算方法的特点和问题，提出了一种高次非球面的非球面度计算方法：最小最大残差法。此方法定义合理，适于计算机编程，可用于任意次共轴光学非球面的非球面度的精确计算。

    1 二次曲面最大非球面度计算方法

    目前的光学二次曲面的非球面度计算方法主要有以下几种：

    1.1 近似公式法

    在二次曲面加工工艺过程中，常用此计算方法[2-4]。其非球面度是用非球面与最接近球面的横坐标之差来衡量的。最接近球面是过非球面顶点和边缘点的球面。二次曲面最接近球面半径 R 以及最大非球面度δmax的计算公式为

    式中 x1，y1是二次曲面边缘点矢高和孔径半径，即边缘点坐标。e，D，R0分别为二次曲面的偏心率、孔径直径和顶点曲率半径。由于这种方法在推导过程中多次使用近似计算，误差较大，特别是对于大相对孔径或深型的非球面，误差更加明显。

    1.2 精确公式法

    在加工检验过程中，所谓曲面间的偏离量是指沿法线方向进行度量所得的量值。精确公式法就是应用此定义方法[2-4]，非球面度采用非球面与最接近球面沿后者法线方向的偏离量表示，计算公式是精确推导得到的。最接近球面半径与近似公式法相同，仍由式(1)计算。

    对于二次曲面

    最大非球面度为

    这种方法适用于二次曲面，计算精确，在非球面的加工检验中被普遍采用[5]。

    1.3 最小二乘法

    还有一种应用于检测的非球面度计算方法，它的最接近球面的选择要求是使得在整个非球面口径上与非球面的偏离量的平方和最小，可称为最小二乘法[6]。即满足下式

    其中 R 为最接近球面半径；Δ为最接近球面顶点与非球面顶点的偏离量；D 为非球面的口径。此方法定义较好，但计算复杂，不宜推广，且计算结果与其他方法存在较大偏差。

    2 高次非球面的非球面度计算