环状工件内径温度变形的力学推导

    在长度计量工作中,常有同行问及:“根据物体热胀冷缩的性质,当被测件所处环境温度变化时,实体的大小将从各个方向发生变化。对于圆环工件,当温度变 化时,圆环的实体也将向各个方向发生变化,这样变化的结果,是否当温度升高时,圆环内径将随着实体的变大而变小?”本文将对这个问题进行推导和解答。

    1　温差应力的推导

    零件的几何尺寸,随其所处环境温度的变化而变化。我国规定了20℃作为统一的标准温度,因此,长度计量器具在这一温度下检定、使用才是正确的。但是,当检 定地点和使用地点的温度与标准温度存在差异时,将直接影响其检定和使用的准确度。解决的办法是减小和消除由温度变化引起的尺寸变化。

    我们知道,零件的长度会随着温度的变化而增长或缩短。如有一杆件,当温度为t0时的长度为L0,如果允许此杆件自由伸缩,则当温度改变到t时,它的长度的变化公式:

    ΔL=α(t-t₀)L₀=α·Δt·L。

    式中　α是材料的线膨胀系数。

    当温度改变时,如果杆件的两端没有约束,或者加在杆件两端的约束允许杆件自由地伸长或缩短,不受任何限制,则均匀的温度改变不致使杆件内部应力发生任何影响,或者说杆件内部没有应力。

    当然,残余应力还是有的,但这些应力是稳定的,和讨论此问题无关。

    如果加在杆件上的约束不允许杆件自由地伸长或缩短,即变形受到了相互的约束,任何的温度改变都将在杆件内产生应力,这就是变温应力,或称温差应力。

    现在用等截面杆做为例子来研究它的变温应力,设想将两端固定的等直杆件,去掉其一端的约束(自重引起的变形不计)杆件即能自由变形,如图1所示,其变形量为

    ΔL_t=αΔtL₀         (1)

    实际上,两个固定端限制着它不能自由变形,因此,在杆件的两端产生了一对大小相等,方向相反的轴向力N_t。这就相当于当温度发生改变时,杆件被压缩或拉长了ΔL_n,根据虎克定律:

    式中　E为弹性模量; S为截面积; N_t为轴向力;ΔL_n为压缩或拉伸的长度;σ_t为温度应力。

    在材料力学里,工件受拉时,应力为“正”,工件受压时,应力为“负”。

    2　圆形工件的温差应力

     现在我们回到环状工件上来,分析其几何特性及其变形情况。