应用灰色系统模型提高仪器精度

　　1　引言

　　在科研工作和工业生产中,会涉及到很多测量仪器,它们的精度又是动态变化的,即随着使用时间和使用次数的增加,测量精度呈下降趋势。另外,影响仪器测量精度的因素又是多种多样的,有已知的,也有未知的。如何经济有效地保证和提高这些测量仪器的精度,成了众多科研人员和生产者所考虑的问题。为此,本文提出了运用灰色系统理论建模来拟合仪器示值的方法,为经济有效地提高测量仪器的精度提供了一条新的途径。

　　2　灰色系统理论的原理

　　灰色系统理论是邓聚龙教授于20世纪80年代提出的一种新理论。它把部分信息已知、部分信息未知的系统称为灰色系统,其模型称为灰色模型,简称GM模型。该理论提出:一切随机变量都是在一定范围内、一定时期内变化的灰色变量,此过程为灰色过程。对灰色变量的处理通常是将获得的原始数据作累加或累减,以减弱甚至消除原序列中的随机性信息,生成具有较强规律性的数据序列。事实上,在经过适当次数的累加后生成的数据序列近似符合常系数线性连续微分方程。可以解出该微分方程后,利用生成序列作为样本值,确定该微分方程的系数,最后再用累减法还原成原始序列。灰色模型包括了一般线性回归和幂函数的内容,弥补了传统的差分和离散模型的不足,具有较强的趋势性,其建模和计算速度都比较快。

　　3　灰色模型GM(1,1)的建立

　　设是一个原始数据序列,经一次累加生成处理得序列

　(1)

　　则GM(1,1)模型相应的微分方程:(2)

　　式中,a是发展灰数;u是内生控制灰数。

　　设为待估参数向量,,利用最小二乘法求解可得:

　　其中,

　　求解微分方程(2),即可得灰色模型:

　　(4)

　　式(4)即为GM(1,1)模型,由它作一次累减运算,可得还原模型:

　(5)

　　此还原模型虽然只是顺序k的函数,但k可以推广为非负整数,即模型是连续的,而且包含着很强的规律性。因此,为了建立具有插值和预测功能的灰色模型,在进行原始数据采集时,应尽量等间隔的获取数据。建立模型后,对于建模过程中未使用的原始数据xm,要用灰色模型计算它的值,则必须先确定xm左右相邻的两个建模的数值xi、xi+1,再计算出它插入原建模数据序列中的序号,则

　(6)

　　把km代入式(5)中,即可求得与原始数据xm所对应的GM(1,1)模型计算值,由此完成对原始测量数据进行提高精度的运算。

　　4　灰色模型的应用分析

　　为了验证上述灰色模型的正确性和有效性,我们特选取测量工作中经常使用的万用表作为研究对象,在0～20kΩ量程内进行电阻值测量的实验验证。由于万用表在使用过程中,其测量精度受多种因素的影响,如电池电压、元件老化、环境电磁条件等,而这些因素都是不便于定量分析的。因此,我们把万用表的输入输出关系看作为一个灰色系统。实验中,我们选用了一组电阻值较均匀地分布于万用表量程内的电阻元件,测量时,各电阻元件单个分别测量或串、并联组合测量。首先用一个精度较低的DT-830数字万用表测量电阻元件,用它的测量值建立灰色模型;再以一个精度较高的HP3456A数字万用的测量值作为电阻元件的标准值,并分别与原始测量数据和灰色模型的预测值进行比对。