基于工程应变的轴对称塑性大变形几何方程及其应用

　　0 引言

　　在金属压力加工工艺中有许多典型的轴对称问题,如圆柱体镦粗、圆筒形件拉深、翻圆孔、圆板翻边、缩/扩口、胀形、冷挤压等(见图1)。即使形状比较复杂,如图2所示的盒形件,其圆角部分的分析也可参照圆形件的结论,考虑一定的修正后作为设计计算的依据^{[1, 2, 3, 4]}。由于这些工艺过程的变形非常大,一般认为基于小变形条件导出的几何方程已不能适用,必须按大变形条件建立几何方程。

　　在连续介质力学中,可以定义各种不同形式的应变,从而可以得出各种不同形式的几何方程。但由于这些方程的应变概念来自于抽象的数学定义,几何意义和物理意义都不够形象直观、简单明了,既不便于工程测量,也不便于工程应用,所以对于解决图1所示的问题并不方便,作用有限。工程应变概念正好相反,不但形象直观,简单明了,而且易于测量,对解决工程实际问题十分重要。

　　本文直接从工程线应变和工程切应变的物理概念出发,根据/轴对称0和/大变形0的特点,推导出相应的几何方程,并应用到一些典型的工艺问题中去,与现有小变形条件下的几何方程及/有限变形0条件下的几何方程进行了比较,得出了一些非常有趣的结论。同时,本文还对大变形条件下的体积不变定律进行了讨论。

　　限于篇幅,本文只讨论了按Lagrange法表示的几何方程(指用变形前坐标系表示的几何方程),按Euler法表示的方程(用变形后坐标系表示的几何方程)可用类似的方法导出。

　　1 三种几何方程

　　1. 1 基于小变形条件的几何方程

　　对于轴对称问题,可以对称轴为Z轴,建立如图3所示的圆柱坐标系。由于问题的对称性,以过Z轴的任意平面作为ROZ平面都是一样的。由文献[5]可知,在小变形条件下,其几何方程可表示为：

　　1.2 /有限变形0条件下的几何方程

　　文献[5]给出轴对称/有限变形0条件下的几何方程如下:

　　这组方程不但远较(1)式复杂,而且各/应变分量0已不再有明显的几何意义,也不再有明显的物理意义。如果将(2)式作为应变的定义式(即所谓的Green有限应变分量或Lagrange有限应变分量),这自然是一个精确的几何方程,但这种纯数学上的应变概念对解决工程实际问题的作用有限。当位移及位移的一阶偏导数较小时,略去(2)式中的高阶小量后可以得到与(1)式相同的结果,因此也可以认为该式是工程应变的一种表达形式,当位移及位移的一阶偏导数不再是很小的量时,也就是所谓的/有限变形0条件下,能给出比(1)式更为精确的结果。但(2)式毕竟不是直接从工程应变的概念导出来的,当应用到图1所示这类大变形问题时,结果欠精确,故有必要重新导出大变形问题的方程。