具有正交各向异性涂层的矩形板动力学问题解析解

　　耐磨涂层目前广泛应用于机器零部件的摩擦接触表面,以提高接触区域的抗磨擦磨损能力,延长零部件的使用寿命,但通常在涂层与基体的结合界面以及 涂层本身的缺陷部位,在循环接触载荷、交变载荷作用下容易萌生裂纹,导致涂层失效或与基体剥离。因此分析涂层—基体的应力分布规律、裂纹萌生机理、裂纹缺 陷的断裂强度、涂层结构的动力学特性等对涂层结构的应用具有重要意义,并已有大量的成果[1-5],如Hamilton和Goodman等[6]对刚性圆 形滑块与均匀介质半空间体接触的情况进行了平面应变和三维分析,发现在足够小的摩擦系数下,最大等效应力正好位于滑块下的基体内,并随摩擦系数增大而向表 面移动;Diao等[7]用实验方法研究了在球形挤压条件下碳化钨基体上陶瓷涂层的表面裂纹和剥落;Liu和Meletis等[8]在有限元分析预测的基 础上试验性的研究了拥有功能梯度界面的DLC涂层-基体系统,发现功能梯度界面和加载水平影响着DLC涂层的持久力;Niklasson和Datta等 [9]研究了具有薄超导涂层的均匀矩形板中超声波的传播问题。上述这些研究或采用有限元数值方法,或采用实验方法或采用两者相结合的方法。

　　作者将研究上下表面具有正交各向异性涂层的矩形板的自由振动和在横向简谐载荷作用下强迫振动的解析解。并将所得结果与有限元分析结果进行比较说明方法的正确性。

　　1　控制方程

　　基于文献[10-12]给出的求解功能层板的基本思想,将研究的问题考虑3层矩形层板,长宽分别为L1、L2,板厚度2a,上下表面涂层厚度分别为h1、h2,如图1。

　　对板和涂层,在不计体力情况下,弹性动力学方程为:

　　其中,σij为Cauchy应力张量分量,ui为位移分量,ρ为质量密度。上标n =1,3分别代表涂层,n =2表示板, (),x=5() /5x。对正交各向异性涂层,Hooke定律表示为：

　　其中,εij为应变张量分量,Cij为弹性常数。对各向同性板,本构方程为:

　　用Lame常数λ、μ表示,则C(2)11=C(2)22=C(2)33=λ+2μ,C(2)44=C(2)55=C(2)66=μ,C(2)12=C(2)13=C(2)23=C(2)21=C(2)31=C(2)32=λ。应变位移关系为:

　　假设边界x1=0, L1与x2=0, L2为简支,则,

　　在涂层的顶部,边界条件为:

　　其中,p = kπ/L1,q = lπ/L2, k, l为非负整数。

　　在板与涂层界面x3=±a处,位移与法向应力连续,因此

　　2　解析解

　　选择板与涂层位移模式如下:

　　则(8)式满足位移边界条件(5)式,代(8)式入(4)式,再将结果代入本构方程(2)得到应力分量表达式: