利用附加质量的设计参数型模型修正方法

　　有限元模型修正一直是振动工程的热点研究问题之一,已有修正算法按照修正对象可以分为两类^[1]:一类是矩阵型,即对刚 度阵、质量阵甚至阻尼阵中的元素进行修正;另一类是设计参数型,指对模型的物理参数与几何参数进行修正.矩阵型方法的缺点在于通常要破坏结构矩阵的对称稀 疏性,结果往往不具有明确的物理意义.设计参数型方法的修正结果具有明确的物理指示意义,并与动态设计兼容,因此实用性很强.但现有的设计参数型方法在应 用时,受可精确测试模态数目的限制,通常计算量大,收敛慢,不能满足工程应用的需要.

　　Cha等人^[2]提出了一种基于附加已知质量块的模型修正方法.该方法添加少量的已知质量块于结构上,改变结构的质量分 布,分别测试添加质量块前后结构的固有频率和固有模态,然后综合应用两组测试数据进行有限元模型修正.该方法能够充分利用结构的低阶可准确测试的振型,增 加修正算法反问题求解中的已知条件数目,另外也可保留结构质量阵、刚度阵的稀疏对称性,具有良好的可操作性.但是原有的修正方法直接面向质量阵和刚度阵的 每一个元素,因此对于稍微复杂的结构,修正方程的未知变量数将远大于方程数目(可准确测量振型数的平方),导致方程欠定,修正精度难以满足工程要求.为了 提高该算法的修正精度和适用范围,本文在原始方法基础上,利用泰勒展开公式,将修正对象直接转移到结构的设计参数上,大大降低了待求解的未知变量数目,同 时也使得修正结果的物理指示意义更加明确.

　　1 改进算法的基本公式

　　对于任一给定结构,其初始动力学有限元模型的质量阵和刚度阵可分别表示为M₀和K₀,矩阵的维数为N×N,N表示模型的总自由度数,则真实质量阵M和刚阵K可分别表示为

式中:δM和δK分别表示初始质量阵和刚度阵的误差修正矩阵,它们的维数对应也是N×N,符号δ表示待修正的误差量.

　　另一方面,质量矩阵M和刚度矩阵K也可写成多个单元组迭加的形式,即

　　式中:N₁表示单元组数目,M_i、K_i分别是第i个单元组对质量矩阵和刚度矩阵的贡献.单元组的划分一般可以依据结构部件的材料分布或几何特性分布来进行,最小的划分单位是每个单元组至少包括一个单元.

　　设待修改的独立设计参数为pj，j =1,2，…，N₂，N₂为待修改的独立设计参数的总数,依式(3)和(4) ,M和K对pj作泰勒级数展开,只取其前两项,得

　　对于一个实际给定的结构系统,假设其前N_e阶固有频率和固有模态都可以准确测量,则可以构建测试固有模态矩阵X(其维数为N×N_e和由固有圆频率平方所构成的特征值矩阵(该矩阵为N_e×N_e的对角阵).X和满足以下的特征值方程: