平面应变弹塑性问题中面外应力与面内应力的关系

　　由于数学解答上的困难,弹塑性理论所得的许多解析解只限于平面应力问题,而求得三维或平面应变弹塑性问题的解析解十分困难。对于平面应变问题,弹塑性本构通常依赖于面外应力σ3,所以σ3不能忽略[1-2]。

　　目前,国内外普遍采用的σ3的求解方法,是在/屈服区0[3]采用不可压缩模型,即取σ3/(σ1+σ2)=0.5[4-5],或者假设σ3为 另一应力函数σ3=W(x1,x2)[6-7]。其中,附加应力函数使解析解的获得更为困难。因此,如何利用面内应力σ1,σ2来表达面外应力σ3,是弹 塑性平面应变问题分析中的一个具有重要意义的理论问题。在考虑弹性效应影响的条件下,为了得到面外应力与面内应力的另一种关系式,同时也为了满足一些实际 计算的需要,文中引入了反映弹塑性变形比例的参数vep,推导得到vep与面内应力σ1,σ2的关系,进而确定了面外应力σ3关于面内应力σ1,σ2的关 系式。

　　1 面外应力R3的表达

　　图1为简化的线性强化弹塑性模型。其中σ0为起始屈服应力;ε0=σ0/E是屈服应变; Ep表示线性强化应力-应变曲线的切线模量(即σ>σ0时直线的斜率)。

　　形变理论多轴应力场的应力应变关系[8]可表示为

其中,v为泊松比,σi j为应力张量,εi j为应变张量,Si j为应力偏量,且

式中,所有带上划线的字母都是无量纲参数。用σ1,σ2,σ3表示3个主应力,在线弹性(即<1.0)平面应变(ε3=0)的情况下,面外应力又可表示为

　　在平面应变情形下,由公式(1)得出

式(5)表明:弹塑性泊松比vep的值不仅依赖于材料常数v和E /Ep,也与等效应力有关。

　　由式(6)可见,对于一般的弹塑性问题,vep是介于v和0.5之间的变量。vep值实际上提供了一种估计弹塑性问题中弹性变形比例的方法。对于弹塑性平面应变问题,由式(5)得到等效应力σi和vep的关系为

　　式(10)表明: vep可以由不同的σ1,σ2值惟一地确定。同时由式(10), (3), (9)可以推断:R3和Ri也可以由面内应力σ1,σ2表达,进而用来求解弹塑性平面应变问题。

　　将vep=σ3/(σ1+σ2)带入式(10a),获得σ3的表达式如下:

　　由此,就得到了σ3,σi与σ1,σ2的函数关系式。

　　这个关系式表明:面外应力和等效应力都可以直接由面内应力表示,不需要增加另一个变量,或在求解过程中为面外应力假设另一个函数。

　　2 面外应力和面内应力的线性关系