带有移动摆载荷柔性梁的动力学分析

　　本文以高架起重机为例，研究了带有移动摆载荷柔性梁动力学问题. 在工程实际中，结构承受移动载荷力学模型很普遍. Fung 和Yau 于2001 年研究了旋转柔性梁在移动质量作用下的振动频率[1]，2002 年用假设模态法研究了该系统的动响应. Lee在1996 年用Lagarage 法和假设模态法推导出悬臂梁在移动载荷作用下的动力学方程[2].

　　Siddiqui 在1998 年研究了柔性梁在移动弹簧质量作用下的运动，利用 Raileigh-Rits 法和 Perturba-tion 法得出运动方程的近似解[3]. Ichikawa 用模态分析法和直接积分法研究了多跨体连续梁在恒定速度移动质量作用下的动力学行为[4].

　　由于交通工具质量增加及其运行速度的加快，许多研究人员关注结构和交通工具之间的相互作用，移动质量不能简化成一个质点而是一个移动的振荡器， 在 Fryba 杰出的专著中对这一简单而又广泛涉及的例子列出了更多的建模和分析方法[5]. 夏禾研究了简支梁在不同载荷作用下的振动分析[6].

　　彭献等研究了匀变速移动质量与简支梁耦合系统的振动分析[7]. 本文在以上文献基础上，研究了移动摆载荷作用下柔性梁的振动问题，介绍柔性梁在移动集中力、移动简谐力和移动集中质量作用下的振动方程，基于 Hamilton 原理，推导出带有移动摆载荷柔性梁耦合运动微分方程，利用假设模态法对简支梁进行离散，采用纽马克逐步积分法对运动微分方程进行求解，本文所采用方法及推 导的方程对工程实际问题研究有一定理论意义.

　　1 梁的振动分析

　　1. 1 简支梁在移动力作用下的振动

　　如图1 所示，忽略移动载荷质量，t = 0 时，常量力 F 位于左边支承处; 某一瞬时常量力 F 移动到距左边支承点 x = vt. 假设简支梁为等截面( EI 为常数) ，单位长度质量为 m，不考虑梁的阻尼. 梁的运动满足小变形理论并在弹性范围内. 对于移动小车质量与简支梁质量相比较小的情况，可将小车看作移动常力，给出其动力响应的近似解[8]:

　　1. 2 简支梁在移动简谐力作用下的振动

　　如图2 所示，设简谐力 F1cos( Ωpt) 以匀速 v 通过简支梁. 载重小车在简支梁上受到表面不平( 跳车) 的激励后，以小车的固有频率发生振动而通过简支梁时，小车簧上部分( 即车身) 的惯性力就是一种简谐力[9].

　　梁的动力响应为

式中: Ωp为简谐力的挠动频率.

　　2 带有移动摆载荷柔性梁动力学方程

　　简支梁可以用 Euler-Bernoulli 梁来模拟，忽略了扭转和剪切变形的影响. 起重载荷被简化为集中质量球摆，通过不可伸长且不计质量的绳子悬挂在沿柔性梁移动的小车上.起重机的简化模型如图3 所示，起重机小车的质为 mc，以速度 x·c沿着柔性梁移动. 刚性杆的长度为l，一端连接着小车，一端与摆载荷 ml连接，刚性杆在垂直平面内的转角为 θ. 梁的杨氏模量为E，单位长度质量为m，长为lb，惯性矩为I.