最小二乘圆法评定圆度误差的优化算法

    1 引言

    圆度误差是指回转体同一截面内,被测试实际圆对其理想圆的变动量。目前圆度测量数据大多采用计算机处理,采用的算法有单纯形法、罚函数法、序列加罚因子法(SWIFT)和混沌算法[1~4]等,而每一种算法各有其优缺点。SWIFT法把单纯形法与罚函数法相结合,使收敛速度加快,局部搜索能力加强[5~8],但有可能陷入局部最优而非全局最优,给评定结果造成误差。混沌算法的优点是对初值敏感、易跳出局部极小点、搜索速度快、全局渐近收敛[9~11]等,但其局部搜索能力存在缺陷。本文运用最小二乘圆法建立了圆度误差的数学模型,综合SWIFT法和混沌算法的优点,提出了改进的混沌优化算法,将约束优化问题转化为无约束优化问题求解。

    2 圆度误差数学模型与优化算法

    2.1 圆度误差的评价准则

    在圆度测量中,经过误差分离和补偿后,需要确定每个测量截面的理想圆心位置。现有的可以用来确定圆心的方法主要有最小区域法、最大内切圆法、最小外接圆法和最小二乘圆法。前三种方法都需要画出误差曲线,然后用同心圆样板试凑的方法来实现。而最小二乘圆法是用m等分点组成的平面曲线来代替连续的轮廓曲线,所以最小二乘圆法是最适合模拟采用的数学方法。因此本文中采用最小二乘圆法来确定各个测量截面的理想中心。

    如图1所示,当实际轮廓线上各点至某一圆的距离的平方和最小时,该圆即为最小二乘圆;实际轮廓至最小二乘圆的最大距离rmax和最小距离rmin之差,即为圆度误差E,即

ε=rmax-rmin

    若E[Esyd,则工件的圆度误差是合格的,否则,工件的圆度误差是不合格的(Esyd为圆度公差标准)。

    2.2 最小二乘圆的数学模型

    最小二乘圆的拟合方法,包括几何距离法、代数距离法、非线性最小二乘法和质心法等。研究结果表明,这些方法大多需要满足小偏差和小误差假设,否则,较大噪声或较多离群点,或者少数但较显著的离群点,都对测量精度影响很大;当样本点较少或分布集中时,现有方法的估计精度不高。下面基于最小二乘法原理,利用相对代数距离法建立最小二乘圆圆心的模型,该模型与现有方法相比具有较好的拟合精度。

    图2为最小二乘圆理想圆心模型。假设有m个测量值,其极坐标为Pi(ri,Hi)(i=1,2,,,m)。设O1为工件的回转中心,在以O1为极点的坐标系中,令最小二乘圆圆心为O(a,b),r为最小二乘圆的半径,e为工件回转中心和最小二乘圆的偏心距,各测量点Pi到最小二乘圆圆周的径向偏差为Ei,轮廓上实际测量点Pi的测量半径为ri,Pi到极点O1的连线O1Pi与极轴的夹角为Hi,极点O1与O的连线O1O与极轴的夹角为<。则由图2中几何关系可以得出