几何轴对称及载荷轴对称厚壁零件的应力分析

　　0　引言

　　圆筒、圆盘、转子、轴系零件以及盛器、压力容器等大多是具有几何对称轴线或载荷对称轴线的机械结构和机械零件,对这类零件进行应力分析是优化设计与制造所必须的。

　　1　平衡方程

　　1.1　厚壁零件

　　盛器、压力容器、圆筒、圆盘等零件,若径向壁厚与其内径之比小于0.05时,称为薄壁零件。在应力分析中,可以假定有效应力沿壁厚均匀分布,公式推导较为简化〔1〕。但是,若径向壁厚与其内径之比大于0.05时,零件中的应力沿壁厚的分布变化很大,这类零件称为厚壁零件。厚壁零件的应力分析应满足相容性方程,并且要用边界条件〔2~4〕。

　　1.2　平衡方程

　　如图1所示,在厚度l沿径向变化并且以等角速度ω旋转的轴对称体的半径为r处取体元,体元厚度为l,径向平面面积为ldr,长度分别为rd和(r+dr)d微弧面,体积为lrddr ,材料体积质量为ρ,质量为ρlrddr,体元随对称体旋转所产生的离心力为(ρlrddr) rω2,体元上作用有切向应力σt和径向应力σ于是,体元沿径向分力的平衡条件为:

　　展开后,第二、三项相抵消,于是得:

　　两边除以drd后,得平衡方程:

　　式(1)具有几个变量,解此方程一般要用某种弹性关系和几何条件,因而此方程属静不定方程。

　　1.3　等强度圆盘

　　对于塑性材料(例如钢),则有σt=σr,于是,式(1)可以简化为只含自变量r和因变量l的方程式,若轴对称体周边上作用有均匀分布的应力σb或压力p0(例如间距很小的叶片上的离心力),就接近于上述条件。同时,圆盘必须没有中心孔,以致整个圆盘传递相同的径向应力。于是,圆盘边缘处厚度lb(如图1)可以根据适当的许用应力[σb]来确定。于是,式(1)可改写为:

　　积分后,得: lnl =-ρω2r22[σb]+lnC,亦即:l = Ce-ρω2r2/2[σb]。

　　当r = b时,l = lb,按边界条件确定积分常数:C =lbe-ρω2b2/2[σb],代入上式,得:

　　在r=0处(如图1),圆盘厚度为:

　　因此,等强度圆盘的中心厚度与轮缘厚度之比为:

　　2　一般平面应力方程

　　2.1　相容性条件

　　轴对称旋转零件的边界压力、分布的离心力都产生应力。在柱面坐标中,应变与应力的关系式同笛卡儿坐标中应变与应力的关系式(广义虎克定律)相似。即:

　　式中E、ν分别为材料的弹性模量和泊松比。

　　在轴对称条件下,建立径向应变εr、切向应变εt与径向位移u间的相容性关系,如图2所示。

　　在径向平面内,取一个面元,对应于拉应力,其内边界具有正位移,即向外的位移;其外边界具有的位移为:u+du。于是径向、切向单位长度的变化,即径向、切向应变分别为: