超静定细长弹性压杆的稳定性问题

　　稳定性问题在工程实际中具有很重要的意义。工程中很多受压的杆件,如内燃机配气机构中的挺杆、千斤顶的丝杆、内燃机的连杆以及桁架中的压杆等,都要进行稳定性校核。对于静定压杆和两端固定压杆的稳定性问题在一般材料力学教材[1]中都有介绍,张希恒等[2-4]对两支座压杆的支座位置和临界载荷的关系进行了讨论,而对于三个或更多支座的超静定压杆以及支座的弹性对临界载荷的影响的讨论并不多见,但这种情况在工程中经常见到。本文在材料力学经典理论的基础上,对三支座弹性压杆的稳定性进行了探讨,得到了一些重要结论。绘出了支座位置,支座弹性与杆长系数之间的关系,并给出了相应的屈曲构型。本文结论对工程实际设计人员具有重要意义。

　　1　问题的求解

　　如图1所示的三支座弹性杆,两端是铰支座,中间是弹性支座,在轴向力作用下,失稳后处于微弯平衡状态。若以表示中间弹性支座的支反力,则根据挠曲线近似微分方程有:

　　问题有非零解的条件是(3)和(4)式中的系数A、B、C、D、yc不能同时为零,即必须要求方程(6-10)此四式中的系数行列式为零:

　　这就是三支座弹性杆在轴向力作用下的发生屈曲的控制方程。此方程是个超越方程,只能进行数值求解。方程里包含了中间支座的位置变量a和中间支座的弹性系数k,下面对方程(10)进行详细讨论。

　　2　分析与讨论

　　2.1　两种简化问题

　　(1)若k=0,代入(12)式可得2λPlsin(λl)=0,也即sin(λl)=0。这就是没有弹性支座,两端铰支的情况,与已有的材料力学中经典结论相吻合。

　　(2)若k≠∞且a=l或a=0,代入(12)式也会得到2λPlsin(λl)=0,同两端铰支的情况一样。这是因为我们给定的边界条件是y(l)=0或y(0)=0,弹性支座在此处就失去作用,相当于两端铰支的情况。

　　2.2　临界载荷与中间支座位置的关系

　　我们先不考虑中间支座的弹性系数对临界载荷的影响,而仅考虑中间支座位置对临界载荷的影响,把中间支座当作铰支座来处理。

　　将(10)两边分别除以,作相应变化,得:

　　对(13)式进行数值求解,相应给出一个θ,得到一个最小的正X值。根据临界载荷的一般表达式,得到θ与长度系数μ之间的关系图(见图2)。由此图可以看出,长度系数关于中点两边对称。在θ=0.5,即时a=,长度系数达到最小值。将θ=0.5代入(15)式并求解,得μ=0.5,即。比在两端铰支情况下的临界载荷提高了3倍。图3给出了θ=0.3和θ=0.4时弹性杆的两种构型图,由于中间

　　支座是铰支座,相应的在图上和位置表现为挠度为零,并且看出杆长的部分比杆短的部分挠度大,说明杆越长其稳定性越差。