小参数高阶项对射孔段套管屈曲摄动解的影响

　　前人曾给出了用一阶小参数为孔眼的最大轴向尺寸,m;l为一个螺距段套管长,m)表示的射孔套管屈曲控制微分方程及其摄动解[1],并在定义了射孔套管的“计算孔眼”基础上,给出了考虑孔口应力集中影响时的弹塑性射孔套管抗挤力分析方法。但随着外压力的不断增加,射孔套管

　　孔眼周围的塑性区必然随之扩大,计算孔眼的扩大,必然导致小参数ε变大。笔者重点讨论计算孔眼扩大后,射孔套管屈曲摄动解中小参数ε高阶项对射孔段套管屈曲摄动解的影响。

　　1　含有小参数二次项的射孔套管弹性屈曲方程及其一般解

　　可以导出射孔套管受均匀外压作用屈曲控制一般方程为

　　式中,w为与极坐标θ相应的套管径向位移,m;E为套管材料的弹性模量,Pa;r0为套管的平均半径,m;D为套管的外径,m;p为套管的外压力,Pa;I(θ)为一个螺距段套管断面惯性矩,m4;h为壁厚,m;d(θ)为与极坐标θ相应的计算孔眼轴向尺寸,m。

　　式(3)即为考虑小参数ε2项影响的射孔套管弹性屈曲控制方程,忽略ε2项即为文献[1]中的结果。

　　式(3)相应的边界条件为

　　即当式(10)得到满足时,非齐次的ε1阶解式(7)存在非平凡解。把式(9)代入式(7)整理得

　　式(11)与弹簧的刚度系数为4、质量为1及受迫力为F(t)的单自由度体系的受迫振动问题类似。其特解可由杜哈梅积分[2,3]确定,即

　　在采用摄动法求解这类问题时,可以有两种选择[4]。第一种:在解各阶方程时将齐次方程的通解包括在内,同时任意常数看作与ε无关;第二种:在解各阶方程时忽略齐次方程的通解(但ε0阶方程除外),并将任意常数看作与ε有关。本文采用第二种选择。故式(11)的解可取其特解,如式(12)所示。

　　将所求得的结果代回到ε2阶的式(8)得

　　像讨论ε1阶解一样,式(13)若有非平凡解,仅当可解性条件得到满足时,非齐次的ε2阶的问题才有解。其可解性条件易推得

　　数值计算可以发现,在式(19)ε2的系数中,第一项(含C1)和第三项(含C3)相对第二项(含C2)而言,要小很多。

　　2　结果分析

　　在确定n2时,常数C1,C2一般可求出其解析式,C3无法求得其解析表达式,可以采用复合辛普生求积方法得到。通过编制分析软件,可以确定小参数ε变化对射孔套管抗挤能力系数的影响。为了便于叙述,定义线性分析为仅考虑小参数ε一次项影响时的射孔套管抗挤能力系数,非线性分析定义为增加考虑小参数ε二次项影响时的射孔套管抗挤能力系数,射孔套管抗挤能力系数的相对误差Δ为