工程计算力学中的正交基无网格方法

　　1 前 言

　　在材料加工和变形过程中，例如精密成型与处理、材料的特种连接、加工过程的模拟与控制等，存在着与物理、力学、材料等学科相关的复杂耦合行为。就目前的数值模拟水平来看，除高梯度问题和多尺度耦合问题外，其它特征问题都可以较好地处理。在结构分析中常常遇到应力集中现象，也就是应力的局部高梯度，如孔洞处、几何突变处、大变形、高温差分布、高热源处。应用有限元分析时，在应力变化的高梯度区域需要精细的网格划分或者采用高阶单元，这就增加了计算量，降低了求解效率。因此，必须寻求新的、更有效的高梯度描述方法和工程分析数值方法。无网格法(meshlessmethod)取消了插值函数对网格的依赖，基于一系列节点进行场函数插值，这样既避免了网格划分的复杂过程(插值点可任意布置)，又不会产生网格畸变这样的问题，是一种重要的数值计算方法[1~3]。文献[4]提出了无网格计算应力高梯度问题，但是过分依赖于节点的布置和影响域半径的选择，没有一个统一的选择标准。高梯度问题其实质就是突变问题的变相，所以，在解决高梯度问题时仅仅通过加密节点是不够的，有必要使用高次插值多项式来拟合。但是，当无网格法使用高次多项式基来进行数值逼近时不仅不能增加逼近精度，而且还会使得形函数中的矩阵出现病态，从而导致全局计算结果不可信，而解决这一问题的一种途径就是使用正交多项式基[5]。文[6]使用正交的二次多项式基函数计算了薄板弯曲问题，然而，低次的基函数并不能精确地模拟应力高梯度问题的应力场。本文提出了在工程计算中的高次正交多项式基来拟合应力高梯度问题，并以罚函数法引入强加边界条件，分析了正交基无网格法对形函数矩阵性态的改善以及提高计算效率的优势，并通过算例证实了这种方法的优点。

　　2 形函数中矩阵 A 的分析

　　影响形函数中矩阵 A( X)求逆的因素很多，除了节点的不良分布之外，基函数的选取影响也很大。文[7]讨论了基函数的选取对计算精度的影响，

　　但只是针对低次多项式基，没有就高次基进行讨论。在使用高次多项式基进行数值逼近时，不仅不会增加精度，而且还会造成矩阵 A 的病态，使得解出现振荡，导致结果的不可信。下面用一个一维Possion 问题来验证高次多项式基对结果的影响。

　　图 1 为一维 Possion 问题的无网格解，求解时分别使用三次、四次和五次基来求解，然后，将各求解的场点值连线得到图1。结果表明，当多项式基次数逐渐增加时，值解振荡逐渐厉害。多项式基次数超过三次以后，高次多项式基不仅不会增加精度，而且还会降低求解效率，造成矩阵 A (X)得解出现振荡。