三维弹性力学问题中有限元方程的预处理方法

　　三维弹性问题的求解无论在理论上,还是在工程技术上都是很重要的问题.文[1]利用积分变换分析了各向同向、连续介质的三维弹性问题,给出了一类特殊三维弹性问题(路面问题)的解析解.但是在实际应用中,能用解析方法求出精确解的只是少数边界约束比较特殊,且几何形状相当规则的问题.对绝大多数问题,由于求解域几何形状比较复杂,根本无法得到问题的解析解.因而数值求解已成为求解这类问题最为有效的途径和方法.目前,对三维弹性问题,已有相当多的学者在研究它的数值解法,如文[2]在有限分析法基础上建立了求解三维弹性问题的离散计算格式,并研制了相应的数值软件,取得了较好的成果.但随着离散网格的不断加密,整个计算域上的线性代数方程组的规模将变得很大,利用以Gauss消元法为基础的直接法将变得十分不利,直接法存储需求与计算量很大,甚至将变得难以容忍.于是对这类方程组的求解,迭代方法将成为有力工具.目前使用最多的是Krylov子空间迭代法,其收敛性依赖于刚度矩阵的谱分布,谱分布越集中,收敛越快.而有限元方程的求解在整个有限元分析过程中起着十分重要的作用,将影响着整个有限元分析的效率.因此,研究三维弹性问题离散方程组的快速求解算法是一件相当有意义的工作.

　　本文在已有的代数多重网格方法的基础上,建立了一类求解三维弹性问题离散方程组的预处理方法,详细描述了相应代数多重网格方法的粗化技术及网格转移算子的构造.由于该预处理方法能很好地改善刚度矩阵的条件数,使刚度矩阵的谱分布更集中,从而大大地提高了计算效率.数值结果表明,基于代数多重网格的预处理方法对求解三维弹性问题离散方程组是非常稳定的,且具有良好的计算精度和收敛性,计算CPU时间也大大减少,特别对非均匀网格三维弹性问题,更能体现出该预处理方法的优越性.由于采用了一维稀疏存储技术,大大地节省了计算机存储量,为大规模三维数值计算提供了一种行之有效的方法.

　　1　三维弹性问题及有限元离散

　　考虑三维弹性体V,其边界V=ΓU+ΓT,三维弹性问题可描述为[5]:

　　其中,U= (u,v,w)T为位移函数列阵,-U= (-u,-v,-w)T为位移边界ΓU上给定的位移函数列阵,F= (Fx,Fy,Fz)T为已知的体力密度函数列阵,T=(Tx,Ty,Tz)T为应力边界ΓT上给定的面力函数列阵,B为微分矩阵,D为弹性矩阵,(n,x),(n,y)和(n,z)分别为ΓT上的单位外法向矢量n与x轴、y轴和z轴的夹角.方程(1)的变分形式为

　　为了获得变分问题(2)的代数离散方程,我们利用有限元方法,可以得到如下形式的线性代数方程组