结构弹塑性响应对形状设计变量的灵敏度分析

　　0　引言

　　结构灵敏度分析是连续体优化问题中及其重要的一环,较为常用的方法是直接得到平衡方程的相关项对设计变量导数的显式。在这些传统方法中,需要得到节点位移向量的灵敏度,因此需要计算刚度矩阵对设计变量的导数,按计算方案可以分为解析法和半解析法两大类型。程耿东[1]和Olhoff[2]对于半解析法的发展做出了巨大贡献。采用半解析方法时,误差估计的工作很重要,Barthelemy等人的工作做的较为出色[3]。

　　考虑结构弹塑性响应时的灵敏度分析较仅考虑线弹性响应时的情况,无疑会增加较多的工作量,但其更能真实地模拟结构的性态。Tsay和Arora提出了一种非线性结构设计灵敏度分析的通用办法,Tsay通过几个解析算例对方法进行了验证[4]。Kleiber等对于考虑结构非线性响应时的相关参数灵敏度分析做过一定的工作,且算例证明了其方法的正确性[5]。

　　本文将半解析法推广运用到弹塑性问题中,首先将对于各种情况均通用的有限元法相关公式列出,采用单元连接矩阵推导系统方程对于形状设计变量的导数显式。显然本文的方法无须计算系统刚度矩阵的灵敏度,而Olhoff提供的精确差分技术[2],考虑其在弹性分析时的高效性,本文加以引用。

　　本文的第一部分重点介绍Olhoff差分格式的相关公式,第二部分介绍本文采用的弹塑性增量计算方案,第三部分重点推导考虑结构弹塑性响应时灵敏度分析的相关公式,第四部分给出一个基于vonMises屈服准则的平面应力问题算例,最后一部分是本文结论。

　　1　传统灵敏度分析的半解析法

　　灵敏度分析的主要目的是计算 u si,u是系统的位移向量,si是决定几何形状的优化设计变量。si控制模型的几何形状,与之对应,aj为节点坐标变量,控制有限元网格的形状,而网格形状受几何形状的制约。

　　有限元系统方程对于si的导数通过链导法则由 aj si得到,故首先应该计算系统方程的相关项对aj的导数。对于 aj si,Sienz提供了一种基于几何模型的有限差分技术[6],为节省空间,且本文中的算例在执行这一步时非常简便,不予讨论。相关的导数计算通过如下过程得到。通过有限元分析的系统方程:

　　方程(1)两边关于aj求导得到:

　　其中:

　　通常情况下,f与aj无关,故(3)式右边第二项可以忽略不计。

　　由以上推导可知,求 u aj需要知道 K aj。如果计算 K aj采用有限差分法,则整个过程通常视为是半解析的。 K是由下式按通常的办法集成的:

　　-B由下式定义:

　　根据Olhoff的结论[2],J独立于节点坐标变量aj,或者是aj的线性函数,故J对aj的导数可以通过以下差分格式来实现,且保证了较高的精度。