状态空间法解多层压力管的多变量问题

　　0　引　　言

　　现代控制理论中的状态空间理论已推广应用到其它一些学科领域中来,如弹性力学、复合材料力学、结构动力学等,文献〔1〕提出了分析平面弹性力学的状态空间法的理论框架,文献〔2〕提出了弹性力学混合方程与哈密顿正则方程,并建立半解析法的思路,文献〔3-5〕给出状态空间法求解梁、厚薄壁圆筒与涵洞等问题解答,文献〔6,7〕给出了状态空间法求解结构动力响应问题等。本文根据二维极坐标系的弹性力学控制方程,引入位移与应力为状态变量,建立单层与多层压力管的状态方程。对轴对称荷载作用下的厚薄壁压力管的多变量统一问题,由状态方程同时解出压力管应力与位移多种变量值。通过数值算例的计算结果,表明精度较高。

　　1　极坐标系弹性平面问题的状态方程

　　对于弹性力学平面问题,在极坐标系内,其控制方程有4组。

　　1)平衡微分方程

　　式中,微分算子

　　应力分量与体力分量分别为

　　3)物理方程

　　4)位移与应力边界条件为

　　由物理方程(5),推导出环向应力分量为

　　根据几何方程与物理方程有

　　将式(7)代入(8),得

　　由平衡方程展开式第一式,并将式(7)代入其中,有

　　由平衡方程的第二式,并将式(7)代入其中,有

　　在位移与应力边界上

　　对于各向同性体与正交各向异性体均可以求解,在求解问题之前,先把荷载分解成对称与反对称的两种情况来处理。

　　2　厚薄壁压力管的状态方程的解答

　　在工程实际问题中,常遇到轴对称厚薄壁压力管道问题。对于几何形状与荷载情况均轴对称的厚薄壁压力管问题,在不计体力的情况下,其状态方程由式(13)退化为:

　　式(4)中的指数矩阵eA(r)的求解方法有多种,这里采用马克劳林级数,即

　　应用式(22)与(27)得定解方程

　　由上式求得Y(a)值后,再代入式(22)可求得状态变量Y(r)值。

　　3　多层管的计算

　　对于多层管的计算,根据分层方法来处理,如分为若干层1,2,…,S。则各层的状态方程分别为:

　　式中,r1,r2,…,rs为各层中心到圆心的半径,上式的解答

　　根据层间状态变量的连续性条件,有

　　对各层间均有式(13),就有

　　根据多层管壁内外界面的应力条件,得定解方程:

　　由式(17)求得Y1(a)后,将其代入式(12),可求得各层的应力与位移值。