轴向运动悬臂梁的独立模态振动控制——-Ⅰ近似理论分析

    1　引　言

    伸展梁又称有轴向运动的梁。这种动力学模型在许多工程领域得以应用,例如机器人手臂操作、空间伸展结构、自动化机械工具等。动力学模型的准确建立是高精度控制应用的关键。图1为一固支-自由型(即悬臂)可伸展梁的示意图。另外有时为了考虑机械手所抓取的物品,动力学模型会在端部带有集中质量。

    文献[1]从牛顿第二定律和Lagrangian函数出发建立了伸展梁的动力学模型。文献[2][3]从有限元模型入手分析了梁的运动及其稳定性问题。文献[4]则从Hamilton原理出发推导了带有端头集中质量的轴向运动梁的方程,并就Timoshenko梁、Euler梁、简单柔性梁和简单刚体运动等几种模型讨论了梁的不同方程。这些从不同角度出发所得到的非线性方程基本清楚地描述了梁的运动,但是这样的非线性方程很难得到精确的解析解。已有的数值解一般是利用有限元或差分等方法,通过改变单元的个数或单元的长度来达到模拟轴向运动的效果。文献[5]在假设定常低速轴向运动的基础上利用多尺度方法给出了一个近似的解析解,并将该解析解与利用假设模态法求得的数值解进行了比较。由于实际工程问题中轴向运动速度都较低,因此该近似解析解是有一定的参考意义的。

    本文利用已有的动力学模型,建立独立模态控制下伸展梁的方程,并参考文献[5]的思想,在低速伸展的假设基础上利用多尺度方法推导闭环控制方程的近似理论解。

    2　控制方程的建立

    根据Euler-Bernoulli梁理论和Newton第二运动定律,并注意到梁的长度是一个随时间变化的函数,可得无外力时匀速伸展梁的动力学方程[2]

其中ρ为梁的线密度:为梁的伸展速度(常数);EI为刚度系数;q为横向挠度;L(t) =L0+γt为随时间变化的梁的长度。Bk,Dk为微分算子,由边界条件确定。

　　由弹性波理论易知Ug(t)即为长度等于L(t)时的Euler-Bernoulli梁的弯曲色散波的群速度。如果梁的轴向运动速度与这一群速度相比有γ/Ug(t)<<1,则可略去(3)式左边的最后两项。若又有L(t)/L0= O(1),即L(t)与L0为同阶量,则进一步略去(3)式左边的第三项。以上条件在梁做低速运动时可视为满足。从而(3)式简化为

当系统加入控制力时,方程的右端不再为零,即有控制方程

    3　方程的求解

    利用分离变量法,设v(η,t*) =,其中ψi和ui分别为对应各阶模态的无量纲空间和时间函数,n为模态数。引入速度负反馈控制,并采用独立模态控制方法,取控制力F(η,t*)为