随机梁的传递函数分析方法

　　工程结构的各个方面都存在着不确定性,如结构材料性能参数的随机性、结构几何尺寸的随机性和尤为明显的载荷的随机性;另一方面,用有限单元法来分析复杂结构的随机特性已成为结构工程实践中广泛使用的的一项数值计算方法,但有限单元法的数值计算工作量比较大,这是其不足之处。传递函数方法[1]是控制论中用频域方法描述数学模型时引入的概念,且传递函数包含了微分方程的全部系数,与微分方程模型是相通的。将传递函数方法用于结构分析的工程背景源于Mote和Yang对带锯的主动控制的研究。随后, Tan和Chung提出了广义位移法(GMD),用于分析带约束分布参数系统的自由和外力响应。而周建平教授利用Fourier变换和分布传递函数方法相结合的方式,对二维和三维的理想圆柱壳、层合圆柱壳等模型进行了分析。本文将传递函数方法与随机结构分析的传统摄动理论[3]相结合,以工程实际中常见的带有随机材料参数的静态梁结构为例,对随机场作Karhunen-Loeve正交展开[2]处理,分析了梁的静态随机响应,得到了其解析形式的解,并计算了其可靠性指标。

　　1　梁的时域动力学模型

　　梁是工程中一种最常见的结构构件,非均匀等截面细长梁的动力学控制微分方程可以表示为:

　　2　随机梁结构的传递函数处理方法

　　2·1　对随机参数作Karhunen-Loeve正交分解

　　将随机过程视为一些确定性时间函数随机组合的结果。若材料的弹性模量参数E(x)服从某一随机分布,对其作M阶截断的K-L正交展开,那么

　　2·3　传递函数求解

　　运用传递函数方法求解微分方程。对方程组(5)各式进行Laplace变换,将其从时域转换到频域,引入传递函数模型,将微分方程写成在状态空间上的表述形式。定义状态变量

　　结构分析的目的在于为结构设计提供定量依据,结构的可靠度是指结构在规定的时间内,在规定的条件下完成预定功能的概率。若gi(x)为状态函数[3],根据具体情况可定义状态函数

　　5　结论

　　从以上的分析和算例中,我们可以得出以下几个结论:

　　(1)利用传递函数方法与传统摄动理论相结合来求解随机结构的响应问题,为随机结构的分析开辟了一种新途径,它具有公式推导简单、易编程、边界条件适应性强等特点。

　　(2)对随机正则摄动问题取不同的阶数截断(M,N值),理论上可以获得任意阶精度的随机响应解,计算结果可以很好地描述结构的随机响应。目前该方法对复杂结构的静、动力响应问题的分析正在作相关的研究,本文对大型复杂随机结构的分析能起到抛砖引玉的作用。