多自由度系统振动方程的确定

    建立由若干质点或物体组成的多自由度系统的振动方程式可采用两种方法.一种方法是用动力学的基本定律或定理直接对系统中的质点或物体建立各自的运动方程式,这些运动方程式的总和就是系统运动方程式.对于一些简单的问题采用这种方法比较直接简便.第二种方法是分析力学的方法,对于一些自由度数目较多的系统,合理地选取系统的广义坐标,求出动能和势能用广义坐标表示的表达式,在存在非势力时再用计算虚功的方法求得广义力,就可比较简单的得到运动微分方程式.与动力学方法相比这种采用了拉格朗日方程式建立的运动方程式比较规格化[1].

    1　有阻尼多自由度系统运动微分方程式

　　有阻尼多自由度系统运动微分方程式的形式为:

    [M][q]+[c][q·]+[K][q]=[F].          ( 1 )

式中,[M]为惯性矩阵,[c]为阻尼矩阵,[K]刚度矩阵,以上三个矩阵是由系统自身性质决定的:

    [q]由系统广义坐标构成,称为广义坐标的列向量;[q·]是广义坐标对时间的一阶导数;[q··]是广义坐标对时间的二阶导数;[F]作用于系统上的力组成的列向量.

故(1)式可写成具体的形式为:

    2　惯性矩阵的确定

    当[q]和[q·]为零向量时(2)式变为:

    当[q_j]≠0,[q··i]=0(i≠j)时,由(3)式可得:

    m_ijq_j=F_i.

    当q··j=1时则mij=Fi即可得出惯性矩阵[M]中mij的值,故惯性矩阵[M]的元素mij表示为系统在平衡位置使第j个广义坐标对时间的二阶导数为1,而其余各广义坐标对时间的二阶导数为零时需在i处施加的作用力或力矩.该力或力矩与广义坐标的方向相同时符号取正,反之为负.

    3　刚度矩阵的确定

    当[q·]和[q··]为零向量时(2)式变为:

    当qj≠0,qi=0(i≠j)时有kijqj=Fi.

    当qj=1则有kij=Fi.

    当qi=1时,kij=Fi即可得出刚度矩阵[K]中kij的值,故刚度矩阵[K]的元素kij表示为系统在平衡位置使第j个广义坐标处产生单位位移,而其余各广义坐标上的位移为零时需在i处作用的力.该力与广义坐标同向时取正,反之为负.若广义坐标不是线位移而是角位移,则上述力值改为力矩值.

    4　阻尼矩阵的确定

    当[q]和[q]为零向量时(2)式变为:

当q·_j=1,则有c_ij=F_i,即可得出阻尼矩阵[c]中cij的值,故阻尼矩阵[c]的元素cij表示为系统在平衡位置使第j个广义坐标处产生单位速度,其余各广义坐标处速度为零,在第i个广义坐标处受到的阻尼力.

    5　计算实例

    图1杆OA长L,重量不计可水平摆动,不计摩擦.在A端装有一质量为M1,半径为R的均质圆盘,在圆盘的边缘固定质点B的质量为M2,求系统作微幅振动的运动方程.解:选杆和轮的转角为θ1和θ2,系统为两个自由度,静平衡位置为坐标起始位置和零势能位置.