非对称弯曲正应力公式的一种推导方法

　　1引言

　　梁是工程实行中的一种重要构件。非对称弯曲梁横截面上的正应力,通常都是在平面假设及梁的纵向纤维间无正应力的假设下,利用几何关系、物理关系及静力学关系推导出来的。[1]这种方法推导过程较繁杂,实际应用不方便。我们可以在平面弯曲正应力计算公式的基础上,利用坐标变换方法而得到非对称弯曲正应力的一般公式。

　　2基本公式

　　设等截面梁的横截面为任意形状(图1)。C为截面的形心,z1、y1为形心主惯性轴。若纯弯曲力偶My1、Mz1分别作用在梁的形心主惯性平面xz1和xy1内,如图2所示,x为梁的轴线,则非对称弯曲可以分解为两个形心主惯性平面内的平面弯

　　曲的叠加,其横截面上的正应力计算公式为

　　以上结论很容易由平面弯曲性质推广,利用叠加原理而得到。[2]对于实体梁,在通过截面形心的横向外力作用下,略去梁的扭转变形不计,求得横截面上的弯矩My1和Mz1后,式(1)也可用于细长梁的非对称横力弯曲。

　　3坐标变换法

　　我们可以通过坐标变换,将形心主惯性轴中的正应力公式(1)转换为一般形心轴中的相应正应力计算公式。

　　在图1中取任意形心轴y和z,它们与形心主惯性轴的夹角为α,则yz坐标系与y1z1坐标系间的坐标变换矩阵为

　　矩阵[N]为正交矩阵,因此有

　　式中[I]为单位矩阵。

　　两个坐标系中,任一点的坐标变换式为

　　若将横截面上的弯矩按右手螺旋规则表示为矢量(图3),则两个坐标系中弯矩变换式如下

　　对于形心主惯性轴y1、z1,由于Iy1z1=0,所以它与任意形心轴y、z之间的截面几何性质如惯性矩、惯性积的变换公式为[1]

　　式(11)就是非对称弯曲时,梁横截面上正应力的一般表达式,y、z为任意形心轴,y、z的数值为计算点的坐标值,弯矩My、Mz以使横截面第一象限的点产生拉应力时为正。若y、z为形心主惯性轴,则式(11)还原为式(1)。

　　4结论

　　本文利用平面弯曲正应力基本公式、叠加原理及坐标变换方法,得到了与文[1]完全相同的非对称弯曲正应力计算公式。推导过程表明,本文所用的方法具有简单、实用的特点。在梁弯曲的一般理论中,本文方法也有一定的应用价值。

　　参考文献

　　[1]　刘鸿文·材料力学(第三版),上册[M]·北京:高等教育出版社,1992

　　[2]　梁治明·材料力学(删订本)第二版[M]·北京:高等教育出版社,1984

　　作者简介:冯贤桂(1946-),男,武汉人,重庆大学工程力学系,副教授。