多自由度拉杆的静力学分析

    在有限元分析中，多自由度系统由于是非静定结构，其刚度矩阵奇异，因此不能使用静力学分析方法进行求解。［1］在一些大型机械设备的有限元计算中，常常会遇到诸如拉杆等的多自由度系统，使用传统的静力学计算方法是不奏效的，而使用动力学方法得到收敛的结果，则需要巨大的计算量。大型的工程机械所包含的拉杆、多轮平衡梁行走机构等，都是多自由度系统。但这些机构有一个共同的特点，就是它们都是为了机构的动作需要或减小应力而使用的铰支。在这些铰本身的位置并不会产生过大的变形，而是用于机构的动作需要或释放弯矩以达到减小应力的作用。针对这一特点，我们可以在传统的有限元模型中加入一些带有转角刚度或较柔软的弹簧单元以达到消除自由度的目的。

    1 假想模型

    有限元方法的静力学求解的基本思想是对刚度矩阵求逆后，与载荷矩阵相乘得到位移基本解。因此刚度矩阵是否有逆矩阵存在直接影响到一个静力学有限元模型是否可以求解。以一个简单的有铰支的多自由度梁模型系统为例( 见图 1) 来分析:

    这个梁模型模拟了拉杆的实际工作情况。虽然拉杆与重力往往成一定角度，但这并不影响刚度矩阵的形式。图中 3 段梁的长度都是 5 m。

    每段梁的属性设定为 A =10 000 mm²，I =3． 3 ×107mm⁴; 材料的弹性模量设定为 E =2． 06 ×10⁵Pa;材料的密度设定为 ρ =7． 85 ×10⁹t / mm³。

    由于 3 段梁的空间位置相同，所以对于任意单元 i 的刚度矩阵为:

    单元的链接情况是 2 节点与 5 节点耦合平动自由度 6 节点与 3 节点耦合平动自由度。这时的总刚度矩阵为:

    对总刚度矩阵求行列式的值为 0。可见对于这样的多自由度系统，传统的求刚度矩阵的逆矩阵的方法是不可行的。

    对刚度矩阵适度加以改造:

    在 2 个铰点连接处加入 2 个扭转刚度单元后，总刚度矩阵的形式变为以上形式。其中第 3 行第 7列和第 7 行第 10 列及他们对应的主对角对称元素从 0 改为了一个较大的数值。这时刚度矩阵的行列式值已不为 0。这样，由于消除了多余自由度，已经可以进行求解了。［2］有限元软件 ANSYS 对于求解的结果及中间迭代过程出现的变形不能超过 10⁷。因此这个转角刚度不能设置得无限小但不等于 0，否计算仍然无法收敛。

    2 计算对比

    在图1 中，给定一个较小的力，令 F =10 000 N。这时，由于载荷较小，故变形相对于机构运动产生的位移并不显著。经过计算可以得出在此外力的作用下，忽略变形最大竖直方向位移为 1 795 。而设定不同转角刚度，使用 ANSYS 进行求解的结果见表1。