基于小波有限元对注塑型腔内熔体的三维流动分析

　　0 引言

　　传统的有限元法在单元子域内用多项式子空间的基函数对未知场函数进行逼近,采用多项式主要是由于其运算简便,并且随着项数的增多可以逼近任何一 段光滑的函数曲线[1O3]。而小波有限元的基本理论基础也是变分原理,不同于传统有限元法的方面主要在于引入小波基函数作为基函数,即将未知场函数变量 用小波基函数来进行逼近[4]。本文基于Daubechies尺度函数,构造了适用于三维流动问题分析的小波单元。应用Daubechies小波单元对三 维流动过程中的压力场和温度场变化进行了仿真研究,显示了小波有限元在求解非线性问题中的优越性。

　　1三维流动的数学模型

　　1.1 控制方程

　　对于三维不可压缩流体稳态层流,忽略体力项、内热源项和黏性耗散的影响,流动规律可以用连续性方程、动量方程和能量方程来控制:

　　式中,¨为Hamilton算子;u为速度矢量;p为压力;Q为密度;T为温度;Jth为热导率;cp为质量定压热容;S为剪切应力张量矩阵。

　　剪切应力张量定义为

　　式中,G为熔体黏度;C#为剪切速率;n为非牛顿指数。

　　由于充模过程中,熔体的温度变化范围不大,因此聚合物与温度的依赖关系可用Arrhenius方程来描述:

　　式中,T0为参考温度;G0为零剪切速率时的黏度;Er为材料的黏流活化能;R为摩尔气体常数。

　　1.2 边界条件

　　(1)型腔厚度方向上的边界条件是熔体在模壁上无滑移,则

　　且当z= h时,T= Tw。其中,h为型腔的半厚度;Tw为模壁温度。

　　(2)流动平面上的边界条件:

　　1)在入口边界处,压力、流率、温度恒定,即

　　式中,Pe(t)、Me(t)、Te分别为压力、流率、温度的边界条件常量。

　　2)熔体前沿处,假定模具排气良好,即

　　3)型腔边界无渗透,即

　　2数值算法

　　目前,有多种数值算法应用于上述控制方程的求解。本文采用小波有限元的方法进行求解,由于小波函数的紧支性,将小波函数引入到传统的有限元插值 函数中时,所得到的系数矩阵为稀疏阵,因此证明了其条件数与维数无关。这不同于传统的h网格法和p多项式法中的矩阵刚度条件呈O(Np)增长(N是求解未 知个数,p为多项式次数),因此小波有限元的迭代速度快、求解性好。

　　2.1 压力场求解

　　三维流动分析的技术难点在于数值解的不稳定。其中,控制方程的离散过程中速度和压力有限元插值函数的不合理组合以及方程中存在的速度和压力的耦 合是引起压力常数值不稳定的主要原因。本文从离散的动量方程中找出压力和速度的关系,用小波有限元的方法求解离散方程,最后得到压力方程,通过这种办法消 除了压力场与速度场耦合引起的振荡。