多重网格法求解微机械谐振器的挤压膜阻尼

　　随着精密加工技术和微电子技术的发展,出现了越来越多的微电子机械系统(MEMS)器件。在MEMS器件中,有很多是利用微机械机构在固有频率处所具有的优良振动性能来工作即为微机械式谐振器。品质因数是其关键指标[1, 2],其定义为存储于振动之中的总能量与每个周期损耗的能量之比[3, 4]。影响品质因数的能量损耗机制(阻尼机制)分为三类:进入周围流体介质的能量损耗、通过支承进入基座的能量损耗、微结构材料内部固有的能量损耗。其中进入周围流体介质的能量损耗在总能量损耗中占绝对大的比例[4, 5]。因此对于决定谐振器品质因数的挤压膜阻尼的研究是非常重要的。目前求解挤压膜阻尼的方法主要分为三种: 1)解析法虽能体现器件的几何参数与物理性能的关系,但却只能用于处理简单的几何形状和边界条件中; 2)宏模型法是对有限元数值方程进行降阶后的方程,是解析形式的,有利于系统级仿真和优化,但一般只用于微小变形中; 3)数值法能够很好的处理复杂几何形状及边界条件,能求解几何大变形,适用性广。

　　对挤压膜的数值计算都是对Reynolds方程的进行有限差分求解。首先将求解区域剖分,然后将偏微分方程离散,导出一组线性或非线性的代数方程组。传统的迭代方法在求解的过程中能很快的消除残量中的高频部分,但对低频部分效果不好,随着迭代次数的增加,收敛速度会越来越慢,因此为达到一定的精度,迭代数字非常大。而高频和低频是相对的,细网格上的低频误差可以看作是粗网格上的高频误差,而多重网格方法能用一系列逐渐加密或减疏的网格去离散求解区域,在不同疏密的网格下用迭代法求解,从而消除不同频率的误差分量,将所有各重网格上消除的误差分量效果综合起来,则可同时消去残量中的高频和低频部分,从而大大提高了收敛速度。

　　1　刚性矩形平板微谐振器流-固耦合模型

　　图1为刚性矩形平板谐振器模型示意图和活动极板俯视。平板的长度(x方向尺寸)为lx,宽度(y方向尺寸)为ly。固定极板和活动极板间加有电压V(t)=V0+v(t),其中V0是数值相对大的直流偏置分量, v(t)是数值相对小的交流分量,v0 v(t)。g0是驱动电压为零时固定极板与活动极板间的间距,即形成挤压膜间隙的厚度。对于绝大多数器件,可以假设由直流电压V0导致的微位移y0

2　挤压膜阻尼的数值计算

将式(12)采用差分法进行离散,设:

2.1　多重网格法

文中采用了四层网格,各层网格数分别为9,25,81,289,转换算子分别采用双线性插值和面积加权平均的方法。

其多重网格V型循环的具体算法如下: