仿人关节式坐标测量机的数学建模及标定方法

　　关节式坐标测量机是一种新型的非笛卡尔式坐标测量机.它仿照人体关节结构,以角度基准取代长度基准,将6个杆件和一个测头通过8个旋转关节串联连接,一端固定在机座上,另一端(测头)可在空间自由运动,构成了一个球形测量空间.与传统笛卡尔式三坐标测量机相比,具有机械结构简单、体积小、测量范围大、灵活方便等优点.主要应用于CAD/CAM中三维模型表面数字化和现场大型零、部件的几何尺寸检测等领域[1,2].因杆长对角度误差的放大作用和各个关节臂的位置误差的叠加作用,故具有较好的参数标定效果,这是仿人关节式坐标测量机测量精度的关键[3].本文主要研究其数学模型的建立过程和用新的标定块及标定方法进行标定,从而提高测量精度.

　　1　数学模型

　　本文针对实际情况下的多关节机械臂构型提出了具有普适性的杆件单元模型,并推导得到多关节机械臂的空间坐标模型[4~7].

　　设计的关节式坐标测量机的结构模型和坐标系统如图1所示,在此{o7x7y7z7}为测头坐标系,{o0x0y0z0}为基座坐标系.其中6个关节上的坐标系原点位于该关节联接的两个杆件的中心位置,与靠近基座的杆件的相对位置保持不变.

　　测头局部坐标系{o7x7y7z7}相对于基座坐标系{o0x0y0z0}的位姿记为T0,7,是一个4×4阶的齐次变换矩阵,经坐标变换可用下式描述:

　　T0,7反映了测头在空间相对于基坐标系的坐标位置和姿态.测头在基座坐标系下的齐次坐标可表示为

式中P′表示测头在测头坐标系下的齐次坐标.测量运动方程式(2)包括三个坐标分量方程,都是各杆件的结构参数和各关节变量的函数,因此,式(2)可以简写成矢量函数形式,即

　　2　关节臂的参数标定方法

　　Denavit-Hartenberg模型中4个参数的实际值与理论值有微小偏差[8,9],若按式(3)计算测头的空间位置,则必然产生较大的误差,为提高关节坐标测量机的测量精度,必须对式(3)进行修正.

　　2.1　参数误差模型

　　考虑到参数误差是微小的,对式(3)进行全微分可近似得到测头的空间坐标误差方程

　　将式(4)用矩阵方式简单描述,即

　　2.2　基于最小二乘法和迭代法的标定方法

　　设计参数标定时采用的标定块如图2所示,在300 mm×100 mm×20 mm的平板上均匀地放置两个高度分别为50 mm和250 mm的圆柱,每个圆柱的顶部有个直径为20 mm的标准球.之所以要选用两个标定球来进行标定,是因为球的半径比较容易补偿,并且其坐标系可方便地建立.

　　如图2所示,以球1的球心为原点建立世界坐标系OwXwYwZw,其中X轴垂直于圆柱,方向从球1的球心指向球2的球心,Z轴沿圆柱中心方向向上,Y轴按右手定则确定.具体标定过程如下:a.用接触式测量头测量球1上的N个点在基座坐标系下的坐标值Pi0(Xio,Yio,Zio),i=0,1,…,N.b.若这N个点都在以球1半径r1+测量头半径r的球面上,则在世界坐标系OwXwYwZw下,