空间薄膜反射镜圆薄膜模态分析

　　空间薄膜反射镜的广泛研究始于上世纪六十年代美国宇航局的大口径空间望远镜项目，意在设计、制造和主动连续控制大口径反射主镜[1]。它是利用镀金属的聚酰亚胺薄膜成形聚光的空间光学元件，因为具有面密度小、贮存体积小、可展开、成本低等，在空间应用中有着巨大的潜质。作为空间望远镜、照相系统、天线、能量聚集器和微弱信号探测器主要组成部分，薄膜反射镜口径能够做到几十米甚至上百米，如何控制其成形意义重大。按照成形方式的不同，空间薄膜反射镜可分为静电式、充气式、扫描式和混合式等[2]。目前国外研究较多，种类多样，以美国最为先进[2]。国内已出现的静电薄膜反射镜实验装置是 0.18m[3]和 0.2m[4]，尚处于理论试验阶段。

　　空间薄膜反射镜聚酰亚胺薄膜的频率特性将影响反射镜的整体特性。在薄膜反射镜处于工作状态时，光学系统在轨状态及受载方式等都受到反射镜频率的影响。通过圆薄膜固有频率与振型分析，可以评价和预测反射镜整体动态刚度的优劣。因此有必要对目前所研究的300mm口径薄膜反射镜进行模态分析，为薄膜反射镜的试验夹持结构设计和相关研究提供基础。

　　1 圆薄膜模态计算

　　极坐标下薄膜反射镜的变形分析模型如图 1 所示，平面法线方向 。对于处于平衡状态的薄膜来说，薄膜表面法线方向受到的侧向载荷将导致薄膜在载荷方向的突起从而达到一种新的平衡状态，此时薄膜内部仅存在面内薄膜力。在这种情况下，薄膜由于弯曲刚度的存在，不仅在薄膜面内存在薄膜力，沿薄膜厚度方向也将产生应力。假设薄膜厚度均匀，周边受均匀的拉力p(N/m)，可列出力学平衡关系微分方程，推导出圆薄膜在极坐标系下的振动方程[5]如式(1)。

　　其中 r 为薄膜半径， 为绕薄模中线转角， 为薄膜材料密度，g 为重力加速度，t 为薄膜厚度。

　　薄膜的振动问题可通过贝塞尔方程求解来解决[6]，如式(2)

　　其中 为薄膜的频率，n 整数。

　　(2)式通解为

　　其中 =2/ ， 为第一类贝塞尔函数， 为第二类贝塞尔函数， 为待定系数(i=1，2)。设 x=rl，则

　　对于第二类贝塞尔函数 ，当n取正数时函数没有意义，根据文献[5]，考虑薄膜的边界条件 r=a， =0，式(1)的解为

　　频率方程为

　　即：薄膜的频率与一阶贝塞尔函数方程的各阶零点有关。式(8)的各阶零点如表 1。

　　对聚酰亚胺薄膜反射镜来说，各参数为：半径a=150mm，拉伸力 p=0.3915 N/m，密度 =1434kg/m3，重力加速度 g=10m/s2。由表 1 中 =0 的零点可以算出此圆薄膜的各阶频率 =22，则薄膜反射镜的理论计算频率如下