圆度误差目标函数特性的研究

    1 引 言

    利用计算机求最小区域评定法形状误差时,广泛采用最优化方法,首先建立形状误差的最优化数学模型,然后应用最优化算法求解,通过迭代去逼近目标函数的极小值。国内外学者对此已进行了大量的研究并取得了许多成果。但迄今为止,研究工作大多集中在数学模型的建立和现有最优化算法的应用与改进方面,对于形状误差目标函数的基本特性研究较少。众所周知,现有的各种最优化算法收敛的前提条件是所要求解的目标函数在其定义域上只有一个极小值,即目标函数是单谷函数。如果目标函数在其定义域上有多个局部极小值,则最优化算法搜索到的值可能不是全局极小值,即不是所要求的形状误差值。此外,目标函数的连续性和可微性也是十分重要的特性。如果目标函数不连续,在求解过程中最优化算法可能失效;而如果目标函数不可微,则各种使用导数的算法,如共轭方向法、共轭梯度法等将不能直接应用。这些问题已经引起一些学者的关注,并已开展了一些研究[1~6],但要圆满地解决这一问题还有待于进一步的深入研究。

    本文建立了基于半径测量法的圆度误差最小区域评定法无约束最优化数学模型,并对目标函数的特性进行了深入研究。基于现代凸函数理论严格地证明了所建立的目标函数是二维欧式空间R2中的连续、不可微的凸函数,因而它的全局极小值是唯一的。任何最优化算法,只要它收敛,均可用于求解该目标函数并得到可靠的最小区域圆度误差值。作者利用实测数据进行计算,并绘出了目标函数的图形和等值线图,表明文中论证的理论结果完全正确。

    2 数学模型

    如图1所示,用半径法测量圆度误差时,以测量时工件的被测实际轮廓或测头的回转中心O为原点建立仪器坐标系XOY,在被测实际轮廓上均匀地取n个等角度间隔采样点Pi(ri,Hi)(i=1,2,,,n),其中ri,Hi分别为点Pi的极径和极角。设O1(a,b)为任一参考圆圆心,R为参考圆半径,O1O = e为参考圆圆心对回转中心的偏心,PiD =Ei为点Pi对参考圆的径向差。则当e <<R时有

    设在点Pi处测得的半径偏差为$ri,可令ri=r0+$ri,r0为某一常量,于是被测实际轮廓上各采样点对参考圆的最大与最小偏差之差为

    当a,b改变时,F也随之改变,故F是a,b的函数,记做F(a,b)。按最小区域评定法可得下列无约束最优化问题

minF(a,b) (2)

    函数F(a,b)的最优点(全局极小点)[a*,b*]T为符合最小条件的参考圆圆心,最优值(全局极小值)F(a*,b*)为最小区域评定法圆度误差值。