环形结构制作误差引起的预应力弹性力学解

　　环形结构因其良好的力学性能,被广泛应用到各个领域.但其制作、装配时会产生初始制作误差,如图1所示,图1(a)是辐角误差,图1(b)是错口误差,图1(c)和图1(d)为断口误差.如果施加一个强制性的力使缺口闭合,则会在环形结构中产生一个初始的预应力,该力可能使结构破坏.针对上述3种常见的制作误差,建立相应的弹性力学计算模型,得出预应力,供工程设计参考.

　　1　辐角误差

　　1.1　计算模型

　　对于图1(a)所示的辐角误差,如果施加一个外力偶,强使2个截面闭合,则会在环内产生初始应力;建立如图2所示的计算模型对辐角误差引起的预应力进行分析求解.该模型为一个内半径为a、外半径为b的矩形截面的曲梁(截面的厚度为1单位),其两端受弯矩M作用.取曲率中心O为坐标原点,极角θ从曲梁左端量起.由于梁的所有径向截面上的弯矩相同,因而可以认为各截面上应力分布相同,即应力是轴对称的,由克洛文解答可以得到该问题的应力解答和位移解答[1]

　　位移解答

　　式中:E为材料的弹性模量;r为环形结构内任一点的半径,a≤r≤b.

　　1.2　初始应力计算

　　现考虑图2所示计算模型的环向位移

　　它是θ的多值函数.如果θ从0变到2π,则uθ将从0变到8BrπE,表明环中同一点将具有不同的环向位移.如图1(a)所示的具有辐角误差的环形构件,是一个辐角误差为α的不完整环,若用外力偶使两端压紧后焊接起来,则焊接后两端就受力矩作用,这个力矩的大小,就是为了维持环向位移

　　另一方面,由于张角α很小,若将与不完整圆环下端重合的径线作为θ=0,当它顺时针旋转到与上端面重合时,θ近似地增加了2π,由式(4)知,环向位移增加了

　　令式(5)和式(6)相等,即得

　　将式(7)代入式(3),得

　　将式(8)代入式(1),就得到图2所示的不完整圆环在其两端面被强行拼合焊接后其内产生的预应力

　　2　错口误差

　　2. 1　计算模型

　　如图1(b)所示,建立如图3所示的计算模型.模型是一个内半径为a、外半径为b、厚度为1单位厚的矩形截面曲梁,一个端面固定,另一个端面上受径向力作用.

　　据文献[2]知,曲梁的任一截面m-n处的弯矩与sinθ成正比.可假设Airy应力函数U也与sinθ成正比.因此,取

　　将式(10)代入弹性力学平面问题极坐标系的双调和方程得

        考虑以下边界条件

　　可解出式(11)中各系数,并由Ariy应力函数U的构式,得到问题应力解答