桅杆的非线性随机研究

　　引　言

　　桅杆是由竖立杆身和数层沿高度斜向张拉的纤绳所组成的高柔结构。受纤绳张力非线性等因素影响,桅杆在外激励作用下可能产生复杂的非线性运动,如驰振、混沌等[1～2],这类运动对桅杆结构的动力响应和安全性有着很大的影响。然而,即使是桅杆最简化的非线性模型,解析方法也无能为力,已有一些相关研究主要是基于时域内的数值模拟方法[2～4]。

　　近年来利用噪声系统概率密度函数研究非线性振子混沌运动的途径逐渐得到重视[5～8]。本文通过将微小白噪声引入桅杆非线性动力方程,运用路径积分推导出该噪声模型响应概率密度函数的形式解。进而探讨根据该函数的分布特征和平均Poincaré图研究桅杆混沌现象的方法,并对响应性质受激励参数变化的影响进行了分析。

　　1　桅杆的噪声摄动模型

　　图1是单层三方纤绳桅杆的二维动力模型,顶端有一集中质量m0。该模型状态方程为

　　式中　响应状态矢量y(t)={y(1)(t)　y(2)(t)}T={x(t)　x。(t)}T,x={…　x2i-1　x2i　…}T,x2i-1、x2i是节点i在x、y方向上的位移,n为节点数;荷载{F(t)}={…　Fi(t)cosi　Fi(t)sini　…}T,Fi(t)和i分别是作用在节点i处的外激励及其与x轴的夹角;[M]、[K]和[C]是桅杆的质量、刚度和阻尼矩阵;[0]2n,2n、[I]2n,2n代表零矩阵和单位矩阵,下标表示矩阵阶数,后同。

　　在该模型的节点处引入m(≤n)个相互独立的白噪声γjwj(t),γj是小参数,wj(t)是单位Gauss白噪声,其作用方向与x轴间的夹角θj∈(-π/2　π/2)。不失一般性,假设白噪声作用在最后m个节点处。利用Gauss白噪声的形式表示:dBj/dt=wj(t),Bj(t)是Wiener过程,状态方程式(1)转变成Ito型微分方程的形式^[9]

　　上式描述了受微小白噪声扰动的桅杆动力模型,其解过程y(t)在γj→0(j=1,…,m)时有下述性质:

　　(1)y(t)收敛于原方程(1)在相应荷载作用下的解过程,因此,y(t)的概率密度函数反映了原方程响应在状态空间内的分布特征。

　　(2)当式(2)定义的噪声模型因摄动噪声而出现随机混沌,作为必要条件,响应y(t)的概率密度必然具有概率分岔特征[8]。由于所有的γj→0,表明微小干扰将导致运动具有不可预测性,这也从一个侧面反映了运动的混沌性质。

　　2　响应概率密度函数

　　将式(2)在任意时刻t’处线性化,忽略高阶无穷小

　　其中　增量是相互独立的Gauss变量,有和。不难求出t’时刻转移概率密度

　　利用Chapman-Kolmogorov-Smoluchowski方程,y(t)在任意时刻t的概率密度函数

　　式中　yi=y(ti),ti=t0+iΔt;p(y0,t0)是初始时刻t0的概率密度函数;dyi表示时刻ti状态空间的积分算子:dyi=(dy(1)1…dy(1)2n)(dy(2)1…dy(2)2n)。