时域谱方法用于内流非定常流动计算

　　叶轮机械内部的流动在本质上是非定常的，由于相邻叶排之问的相对周向运动，叶轮机械内流非定常流动可以看成是周期性的。现有的非定常计算方件诵常存时问方向上使用二阶后差格式，当使用时间推进方法计算周期性非定常流动时,由于给定的计算初值一般并不严格满足控制方程,因此计算过程要经过一段过渡态的计算才能使流场中各点的流动参数呈现周期性变化,计算规模越大,需要计算的过渡过程时间越长,从而计算耗时越多。

　　在计算叶轮机械内部的非定常流动时,对于周期性非定常流动应当充分利用流动的周期性。早期的基于线性化的处理方法[2]把流动的非定常成分做周期性小扰动和线性化处理,从而在线性化控制方程的基础上求解非定常流动。He等在此基础上考虑了控制方程的非线性[3],发展出了非线性谐波方法。McMullen等[4]把谱方法应用在时间偏导数项处理上,而空间项则仍采用有限体积方法处理。在该方法中,只要求所求解的流动是周期性的,并不需要做小扰动假设或者线性假设。

　　为了考察谱方法在内流流动计算中的可行性,本文使用谱方法对时间项进行离散并采用隐式时间推进方法进一步加速收敛。同时本文对使用谱方法离散时间项时的算法稳定性、无反射边界条件处理等进行了研究。

　　1　物理模型与数值方法

　　1.1　数理模型和计算方法

　　由于相邻叶排之间的相对周向运动,叶轮机械内部的非定常流动都可以看成是周期性的,因此本文讨论的流动为周期性的非定常流动。在周期性的前提下,流场中的流动参数可以用级数和的形式近似表示为

　　本文中的计算对象分别为一维变截面喷管和二维喷管,目前进行的计算都是无粘计算。为了简便,在下面的讨论过程中用式(2)来代替二维Euler方程和准二维Euler方程:

　　其中:u为自变量;f为流动控制方程中的空间项;S为控制方程中的源项。

　　把谱方法应用到时间方向上,鉴于流动在时间方向上的周期性,取基函数和权函数均为三角函数。自变量可以用有限项级数和的形式表示为式(1)的形式。借助于三角函数形式的基函数和权函数之间的正交性,可以得到控制方程在频域中的表达式:

　　式中:X为基频频率,是通过Fourier变换计算得到的。在文[3-4]的工作中,最终求解的控制方程均为式(3)的形式,在求解过程中涉及大量复数运算且边界条件给定不方便,同时也不便于使用隐式时间推进方法,因此在本文中考虑使用式(3)在时域中的等价形式以方便边界条件处理和构造隐式推进方法。对于角频率为X的周期性变量u(t),考虑时间序列:tj=Tj/N=2Pj/NX,j=0,1,…,N-1,借助于级数求和,u(tj)可以表示为