文克尔粘弹性地基上弹性地基板的解析解

    1　引言

放置在弹性地基上的薄板,特别是四边简支的矩形薄板,在工程上是常常遇到的,当薄 板承受横向荷载而发生挠度时,弹性地基将对薄板作用一定的分布力,亦即所谓弹性抗力。 随着弹性地基板结构在工程中的广泛应用和工程建设的迅速发展,弹性地基模型及计算方 法也得到了相应的发展。常用的地基模型有文克尔地基、符拉索夫地基及半无限弹性地基模 型,它们适应不同的地基情况。弹性地基的最简单的计算模型是所谓的文克尔地基。这种地 基对薄板所施加反力的集度p和薄板的挠度w成正比而方向相反,即

        其中比例常数k称为基床系数或地基模型。因而薄板弹性曲面的微分方程须改变为[1]

(2)式中称为薄板的弯曲刚度。方程(2)称为文克尔弹性地基板的弹性 曲面微分方程。求解薄板的小挠度弯曲问题时,须按照薄板侧面上(即板边上的边界条件), 由微分方程求出挠度w,然后即可按下式求出应力分量

本文利用文克尔弹性地基和流变学理论推导出粘弹性地基上四边简支薄板的粘弹性 解。在推导过程中作了如下假定:

    (1)假定矩形薄板为四边简支;

    (2)矩形板内各点所受的地基反力p与该点处板的挠度w之间符合粘弹性假定;

    (3)分别假定地基材料为kelvin和三元件粘弹性体。

    2　粘弹性地基上弹性地基板的静动力本构方程

各向同性连续介质上地基板的控制方程为

(8)式即为弹性地基板支撑于粘弹性地基上的文克尔形式的静力方程。

对于动力问题,必须考虑弹性地基板的惯性力,令m为薄板单位面积的质量(包括薄板本身的质量和随同薄板振动的质量),则有

(10)式即为弹性地基板支撑于粘弹性地基上文克尔形式的自由振动微分方程。

    3　文克尔地基上四边简支矩形薄板的弹性解

对于四边简支的矩形薄板坐标取值如图1,当无沉陷时,边界条件是[4]

用纳维叶解法,将挠度w的表达式取为如下的重三角级数:

其中(11)式中的m和n都是任意正整数。显然上列的边界条件都能满足。

将荷载q也展为同一形式的级数,令

解出Cmn代入(12)式得到

当薄板受均布荷载时,q成为常量q0,由(14)式求出系数Amn,然后代入式(11)得到解答

    4　文克尔地基上四边简支矩形薄板的粘弹性解

粘弹性解需通过拉氏变换和代入粘弹性的本构方程予以求解得到,对应性原理的存在使得对粘弹性问题的求解大大简化,我们可以利用相同问题的弹性解来求得粘弹性解,特别是对于某些复杂问题。从而避开了繁杂冗长的推演。

由对应性原理:即在满足粘弹性边界条件的前提下,问题的粘弹性解可以通过经拉氏变换后的物理参数取代弹性解的相应值而得到。考虑到地基材料为粘弹性体,k与时间有关,可用sk(s)取代弹性解(经拉氏变换后的)中的k由(15)式取拉氏变换