基于区域搜索的圆度误差评定方法

    圆度公差是评价回转体零件的一项重要精度指标,它用于控制被测圆柱面任一正截面上的实际圆相对于理想圆的变动量。圆度误差的大小将直接影响到零件的回转精度、配合面的接触状况及耐磨性等,因此圆度误差的精确测量与评定无论对零件合格性的判定,还是对圆度误差产生原因的判断与消除,都是十分重要的。随着三坐标测量机、圆度仪等自动数据采集仪器日益广泛的应用,坐标测量值原则越来越有取代测量特征参数原则和控制实效边界原则之势,成为圆度误差的主要测量原则。

    基于测量坐标值原则下圆度误差的测量一般在圆度仪或三坐标测量机上实现。国标GBPT 7235-2004规定了圆度误差的4种评定方法:最小区域法、最小二乘法、最小外接圆法和最大内接圆法。其中,最小二乘法因其理论成熟、算法简便易行等优点,应用最为普遍,甚至被列为某些欧美国家的标准。但最小二乘法并不能提供满足最小条件的圆度误差评定结果,且圆度误差评定的最小二乘法属非线性问题,在线性化过程中对测量的数据采集提出了一些附加条件,这给实际测量带来了不便。因此,研究人员研究了多种方法[1~5]以获得最小区域的圆度误差评定结果,但这些方法大都由于算法复杂,不易被工程实际人员掌握。本文深入探讨最小二乘法评定圆度误差存在的问题,并在此基础上提出了基于区域搜索的圆度误差的评定方法。理论和测量实验表明:该评定方法对测量采集点的布置没有任何要求,且算法简便易行、评定精度高。

    1 圆度误差评定的最小二乘法

    设(xi,yi)(i=1,2,,,n;n>3)为被测实际圆周上的测量采样点,并设待求最小二乘圆的方程为:

(x-x0)2+(y-y0)2=R2(1)

    其中(x0,y0)为最小二乘圆的圆心,R为最小二乘圆的半径。令:

    最小二乘法的目标函数为:

    要满足约束条件J(x0,y0,R)ymin ,必须有:

    将方程组(4)展开并化简得:

    最小二乘圆的圆心(x0,y0)、最小二乘圆的半径由方程组(5)求得。由于方程组(5)是非线性方程组,求解十分复杂,因此,在圆度误差的实际测量与评定过程中,要求测量采样点满足以下约束条件:测量采样点在被测圆周上等间距分布;测量采样点的数目为偶数。在此约束条件下,方程组(5)可以线性化,线性化处理后的最小二乘圆圆心为:

    由此,实际圆的圆度误差的最小二乘法评定结果为:

    经线性化处理的圆度误差评定的最小二乘法,由于算法简便易行,被列入我国产品几何量技术规范(GPS)评定圆度误差的方法的国家标准。