微尺度通道中可压缩气体三维流动的数值分析

　　1 引 言

　　随着微机电系统 (MEMS) 和生物工程技术的发展, 微尺度流动和传热问题受到越来越多的关注。一般所考虑的微尺度流动和传热问题, 其系统的特征长度都在 μm 量级, 而气体分子的平均自由程则通常具有 100 nm 的量级, 流动系统的特征长度与气体分子平均自由程的量级相近。在对这种尺度的流动和传热问题进行分析时一般应该考虑气体的稀薄效应。

　　气体稀薄效应的大小可以用 Knudsen 数描述。Knudsen 数定义为 Kn=λ/H, 其中 λ是气体分子的平均自由程, H 是流动系统的特征长度。对于的气体流动, 不需要考虑气体的稀薄效应, 可以采用基于连续介质模型的 N- S 方程对流动进行分析; 当 10-3≤Kn≤10 时, 一般需要考虑气体的稀薄效应, 并且还可以进一步把流动细分为滑移流( 10-3≤Kn≤10-1) 和扩散流 ( 10-1≤Kn≤10) ; 当Kn≥10 时则为自由分子流, 此时 N- S 方程不再适用, 相关的流动问题需要从分子动力学理论出发来进行研究。本文主要研究 10-3≤Kn≤10-1的滑移流。以氮气为例, 当气体温度为 315 K 时, 根据献[1]给出的气体分子平均自由程计算公式!=" !#/ 2#2RT#, 其 ! 值为 0.066 "m。于是,对于特征长度处于 0.66 "m≤H≤66 "m 的流动通道, 有 10-3≤Kn≤10-1。在研究此种流动时仍然可以运用 N- S 方程, 但需要考虑气体的稀薄效应,采用速度滑移和温度跳跃的边界条件。

　　到目前为止, 对于微尺度通道中气体流动及传热问题的研究还不充分。虽然已经有研究者运用速度滑移和温度跳跃边界条件数值求解 N- S 方程, 得到与实验结果相吻合的计算结果, 但大部分都只是考虑二维的流动, 如圆截面通道中的气体流动[2]和矩形通道中气体的二维流动( 或平面缝隙流动)[3-5]。当把矩形通道中的流动简化为二维流动时, 一般都无法正确地计算壁面摩擦系数。本文采用有限体积法计算矩形通道内气体的三维滑移流动, 研究气体稀薄效应对壁面摩擦系数的影响以及滑移边界和气体压缩性对质量流量的影响。

　　2 计算公式及计算方法

　　2.1 控制方程

　　考虑高为 2H, 宽为 2W, 长为 L 的矩形截面通道中气体的定常流动。无量纲化后的连续性方程、动量方程、能量方程和状态方程为

　　式中: x, y, z 分别是沿矩形截面通道高、宽和长方向的坐标; u, v, w是相应方向的无量纲速度分量; ρ是无量纲密度; p 是无量纲压力; θ是无量纲温度; T0和 Tw分别是气体进口温度和管壁温度;R 是气体常数; Re 是雷诺数; Pr=cpμ/k 是普朗特数, 其中 cp是气体的等压比热容, μ是动力粘度系数, k 是绝热指数。在无量纲化时, 对长度采用管截面半高 H, 对速度采用进口截面平均速度 Vin,对密度采用进截面密度 ρ0, 对压力采用 ρ0Vin2。无量纲温度 θ和雷诺数 Re 的定义为