竖直方向弹性约束悬臂梁的固有频率分析

　　梁结构是工程应用中最广泛的结构之一，大量应用于机械、建筑、桥梁、航天和汽车等领域.梁结构的动态性能与其约束条件有密不可分的关系，基于线性简化的多种经典约束条件的梁结构的动态性能的研究已经非常成熟[1-3].近年来，众多学者对于柔性悬臂梁结构的模态控制与参数识别都进行了相关的研究[4-6]，对于旋转运动、轴向运动对梁结构的动态性能的影响也进行了广泛的研究[7-11].目前，对于可变约束条件的梁结构的相关研究较少，悬臂梁结构在工程应用中，其固定端一般近似为固定约束.但是当出现松动或者支撑条件不能近似为固定约束时，梁的动态特性就有相应的变化.

　　笔者针对固定端在竖直方向为弹性约束的悬臂梁固有频率进行分析研究，建立并验证约束刚度与梁结构前 3 阶固有频率的关系，从而可根据约束刚度控制梁结构的固有频率，也可根据固有频率识别约束其刚度.

　　1 弹性约束悬臂梁低阶模态分析

　　图1所示为固定端竖直方向为弹性约束的悬臂梁模型，在固定端y 方向上为弹性约束，刚度为k，旋转方向为固定约束.

　　应用欧拉-伯努利梁[3]模型，得到梁的横向自由振动运动微分方程为

式中：E 为梁的弹性模量;J 为抗弯截面系数;ρ 为梁的材料密度;A 为梁截面面积;y(x，t)为梁结构的主振型函数;β 为与振型有关的特征参数.

　　该模型弹性支撑部分是微小振动，不属于大范围运动.采用分离变量法求解，取弹性约束端为边界条件，即

　　再将式(5)代入式(6)，得

　　由式(7)可得到非零解，则系数C₁ 、C₂不全为零，必有对应行列式为0，得到

　　式中：η为约束刚度与梁弯曲刚度之比再乘以梁长度的三次方;λ = βl.λ² 与固有频率ω呈正比，即

　　较低阶固有频率在设计与响应分析方面有重要的意义，下文讨论前 3 阶模态与支承刚度的关系.首先分析 k 的两种极限条件情况，确定在k 的影响下前3 阶λ 的变化范围和振型.

　　极限条件1   k → 0,式(8)则等效于方程

　　即为固定端只有转动约束的梁方程，数值解得

　　极限条件2   k → +∞ ，式(8)则等效于方程

　　即为理想悬臂梁方程，数值解得

　　图2 为在两种极限条件下，前3 阶固有频率对应的振型.随着刚度 k 值的变化，固有频率及对应振型应在两种极限条件之间转变.

　　下文分析k 在极限条件区间内部变化时，对应前3 阶 λ 的变化曲线.式(8)为超越方程，得不到λ 关于k的解析解，因此，取若干不同 k 值，对式(8)应用数值方法进行求解，可得到3 条lg η -λ 曲线.随着参数η的变化，各阶模态的固有频率值都会有相应的变化，