多关节坐标测量机的数学模型和参数标定

　　多关节式坐标测量机是一种新型的非笛卡尔式坐标测量机。它仿照人体关节结构,以角度基准取代长度基准,将6个杆件和1个测头通过6个旋转关节串联连接,一端固定在机座上,另一端(测头)可在空间自由运动,构成一个6自由度的封闭球形测量空间。与传统的笛卡尔式三坐标测量机相比,它具有机械结构简单、体积小,便于携带及现场测量、测量范围大、环境适应性好等优点[1]。主要应用于CAD/CAM中三维模型表面数字化和大型零部件几何尺寸的现场检测等领域[223]。如果配上非接触式的激光扫描测量头,可灵活高效地用于反求工程中实体曲面的测量。

　　多关节式坐标测量机通过安装在各关节及杆件内部的光电角度编码器获得各关节转角和杆件转角,再结合机械臂的机械参数(各臂长、关节间的夹角等),应用坐标模型计算出被测点的三维坐标。因此,空间坐标模型和参数标定直接关系到获取的三维数据的精度,是整个坐标采集系统的关键。

　　1　数学模型

　　视觉关节式坐标测量机是多杆件串连系统,两杆件之间的相对位置描叙是最终求得测头位置的基础,它取决于两杆件之间的结构参数、运动形式和运动参数。为分析两相邻杆件的相互关系,首先应建立各杆件的坐标系。

　　Denavit和Hartenberg在1995年提出了对两个相互连接且相对运动的杆件建立两个特殊坐标系的方法,给研究两杆件的相对运动关系带来了方便。设某杆件i,他与杆件i-1通过关节i相连,与杆件i+1通过关节i+1相连,按Denavit和Hartenberg的方法,杆件i坐标系{Oi,Xi,Yi,Zi}的坐标原点设在关节i的轴线和关节i+1的轴线的公垂线DiOi与关节i+1的轴线的相交处,Zi轴与关节i+1的轴线重合,Xi轴与上述公垂线重合,且方向从关节i　指向关节i+1,Yi轴按右手法则确定。一个杆件有4个参数,其中2个参数为杆件本身参数,一个是两关节轴线沿公垂线的距离ai称为　杆件长度;另一个是垂直于ai的平面内两个关节轴线的夹角αi,称为杆件扭角。还有2个参数表示相邻杆件的相互关系,一个是沿关节i轴线的两个公垂线的距离di;另一个是垂直于关节i轴线的平面内两公垂线的夹角θi,即Xi与Xi-1之间的夹角

　　本课题组开发的6自由度坐标测量机的结构模型如图1所示(图中小梯形和同心圆均表示旋转关节)测头局部坐标系{O7,X7,Y7,Z7}相对于基座坐标系{O0,X0,Y0,　Z0}的位姿记为T07,是一个4×4阶的齐次变换矩阵,可以用下式描述:

　　式(3)中:Ti-1,i(i=1,…,7)表示坐标系i相对于坐标系i-1的齐次变换矩阵,其表达式由式(2)确定。

　　T07反映了测头在空间相对于基坐标系的坐标位置和姿态。测头在基座坐标系下的齐次坐标P可表示为: